解题找规律 探究明算理

程奎生

【题目】选三个一位数，例如1、2、3，组成所有可能的三位数（不许重复）。求出这些三位数的和以后，再除以上面三个一位数的和，商是多少？再选三个一位数，照上面的方法做做看。商有什么变化？为什么？

【分析与解】先根据题意解题。用三个一位数1、2、3可组成6个不同的三位数，它们是：123、132、213、231、312、321。它们的和是：

，这三个一位数的和是：1+2+3=6。1332÷6=222，则用这些三位数的和除以三个一位数的和的商是222。

再任意选三个一位数，如3、6、9，照上面的方法做，同样可以组成6个不同的三位数：369、396、639、693、936、963。它们的和是：369+396+639+693+936+963

=3996，这三个一位数的和是：3+6+9=18，3996÷18=222，则用这些三位数的和除以这三个一位数的和的商没有变化，仍然是222。

这样，我们可以找到规律：任选三个一位数，组成所有可能的三位数（不许重复），这些三位数的和除以这三个一位数的和，商是一个不变的数（定值），为222。

这是什么原因呢？如果用字母A、B、C表示任选的三个一位数，用它们组成不同的三位数分别是：100A+10B+C、100A+10C+B、100B+10A+C、100B+10C+A、100C+10A+B、100C+10B+A。它们的和是：100A+10B+C+100A+10C+B+100B+10A+C

+100B+10C+A+100C+10A+B+100C+10B+A=222A+222B+222C=222（A+B+C）；而这三个一位数的和是A+B+C。所以，用这些三位数的和除以这三个一位数的和是：222（A+B+C）÷（A+B+C）=222。