理想假设解难题

李映华

【题目】

一本练习册上有100道数学应用题，甲、乙、丙三位同学分别进行独立解答。结果他们每人都正确解对了其中的60道题。如果把其中只有1人解对的题叫“难解题”，只有2人解对的题叫“可解题”，3人都对的题叫“易解题”，而且练习册上没有出现哪道题三人都不正确的情况。那么这本练习册上“难解题”比“易解题”多多少题？

【分析与解】

这是一道十分有趣的题目，该怎么解决呢？我们先试着用“文字”代“数”的方法进行解答。

显然，“难解题”、“可解题”和“易解题”这三种题的总数是100，甲、乙、丙三人中共解出这三种题的题数分别是“难解题×1”、“可解题×2”和“易解题×3”，因为每人都解对60题，则解对的总数应是（60×3）180题。所以，得出下面两道含文字的式子：

难解题＋可解题＋易解题＝100………………（1）

难解题＋2可解题＋3易解题＝180………………（2）

把（1）式扩大2倍变成：

2难解题＋2可解题＋2易解题＝200………………（3）

将（3）式与（2）式对应相减，得出：

难解题－易解题＝20………………（4）

这就是说，“难解题”比“易解题”多20题。

这样做也许有的同学看不懂它的变化。没关系，下面我们可以通过非常理想的假设进行解答。

不妨先把这100道题从1到100编号，假设甲和乙都解出“1～60”这60道题，那么根据题意，剩下的“61～100”这40题肯定是丙一人解对的，但他一共解对的也是60题，我们再假设就是“41～100”这60题。这样，“难解题”就是指“61～100”这40题，“易解题”就是三人都解对的“41～60”这20题（如图）。所以，“难解题”比“易解题”多（40－20）20题。

看！通过这样比较理想的假设来解答，是不是容易多了。