用整除知识解题

胡高正

下面以2004年全国数学奥林匹克竞赛试题为例说说运用整除知识解答疑问题的方法。

例1. B是自然数，A是一个数字，如果，那么B＝（ ）

分析与解：根据条件可知，无限循环小数

则

则

由此可知，

化简得：

又由于B是自然数，则3A7应该是9的倍数，即3A7只能是387。

所以

例2. 将两个不同的两位质数接起来可以得到一个四位数，比如由17、19可得到一个四位数1719；由19、17也可以得到一个四位数1917。已知这样的四位数能被这两个两位质数的平均数所整除，试写出所有这样的四位数。

分析与解：这道题，许多同学采用列举法解答。由于两位质数较多，通过一一列举、验证，所需时间较长。如果利用整除的性质进行解答，则可简化解题步骤。

设符合条件的两个两位质数分别为A、B。依题意，“A×100＋B”必须能被“”整除，而，在“”中，“（A＋B）”能被“”整除，根据整除的性质，“A×99”也必能被“”整除，A是质数，且A和“”互质，因此99能被“”整除。99的约数有1、3、9、33、99，其中只有33符合题意，得，即A＋B＝66，在所有两位质数中，和是66的两个质数有（13、53），（19、47），（23、43），（29、37）共四组。所以，符合条件的四位数有8个，分别是1353、5313、1947、4719、2343、4323、2937、3729。