巧用“等价变换法”解题

唐武元

等价变换法是一种思路灵活、应用广泛的解题方法。它通过对题中给出的已知条件进行等价变换、调整，使数量关系更加明确、清晰，从而使问题得到顺利解决。

例1. 李林看一本故事书，已看与未看的页数比为2：7。如果再看20页，已看与未看的页数比为4：9。求这本故事书一共有多少页？

[分析与解] 此题从比的角度来分析，难度比较大。如果从分数和比的内在联系入手分析，将两个比作如下等价变换，问题就能迎刃而解了。将“已看与未看的页数比为2：7”等价变换为“已看的页数是总页数的”；将“已看与未看的页数比为4：9”等价变换为“已看的页数是总页数的”，由此可知假设多看的20页所对应的分率为，从而求出这本书一共有。

例2. 六（1）班有48名学生，其中女生的人数占六（1）班总人数的，新学期转来几名女生，这时女生的人数占六（1）班总人数的。求新学期一共转来几名女生？

[分析与解] 因为女生的人数和六（1）班的总人数先后均发生了变化，所以所对应的单位“1”不相同，也就很难直接找出“量”与“率”的对应关系。因此我们就要从男生的人数是“不变量”入手，把男生的人数看作单位“1”，将两个分率作如下等价变换，这样就能使数量关系一目了然。将“女生的人数占六（1）班总人数的”等价变换为“女生的人数是男生的”；将“女生的人数占六（1）班总人数的”等价变换为“女生的人数是男生的”。由此可知新学期转入的女生人数是男生的，从而求出新学期一共转来女生

（名）。

例3. 一项工作，甲、丙合做需10天完成，乙、丙合做需12天完成。现在先由丙独做16天后，剩下的由甲、乙合做还需4天完成。求丙独做这项工作需多少天才能完成？

[分析与解] 此题直接运用题中所给出的条件，难以找出明确的数量关系。所以应考虑将已知条件进行等价变换，然后再求解。将“丙先独做16天后，剩下的由甲、乙合做还需4天完成”，等价变换为“甲、丙合做4天后，乙、丙又合做4天，剩下的由丙独做需（天）完成”。这样，把工作总量看作单位“1”，则很容易求得甲、丙合做4天完成这项工作的，乙、丙合做4天完成这项工作的，丙独做8天完成这项工作的，所以丙的工作效率为，丙单独完成这项工作需要。

例4. 阿毛上午8点从家里出发去学校上课，如果他以每分钟72米的速度快速步行去学校，则将早到2分钟；如果他以每分钟48米的速度慢速步行去学校，则将迟到3分钟。求阿毛家离学校多远？

[分析与解] 此题如果按行程问题的常规思路解答，将无从下手。如果将已知条件“每分钟行72米，每分钟行48米”等价变换为“每行1米需要分，每行1米需要分”，问题就容易解决了。由此可知阿毛每行1米，快速行走比慢速行走少用（分）。又因为阿毛从家到学校快速行走比慢速行走少用了2+3=5（分），所以阿毛家离学校（米）。