从循环节入手解题

杨国义

例1. 一个最简真分数，化成小数后，如果从小数点后第一位起连续若干位的数字之和等于2004，求M的值。

分析与解：从，

，

得出：分母是7的所有真分数化成循环小数后，循环节都由1、4、2、8、5、7组成，每个循环节中的6个数字之和是1＋4＋2＋8＋5＋7＝27。从2004÷27＝74……6可知：要使从小数点后第一位起连续若干位的数字之和等于2004，应有74个循环节再加6，即第75个循环节的前一个或几个数字的和是6；再观察循环节142857得：4＋2＝6。这样，第75个循环节的前两个数字应是42（想：可以是1和5吗？），即这个循环小数的循环节是428571，而正好符合这一点，所以M＝3。

例2. 将写成一个循环小数，在这个循环小数的小数部分中连续截取一段，使这一段中的所有数字之和为2005，那么这一段数字中最多有__________个数字，最少有_______个数字。

分析与解：把写成循环小数是，循环节是142857，一个循环节有6个数字，各数字之和是1＋4＋2＋8＋5＋7＝27。从2005÷27＝74……7可知：要使截取的一段中的所有数字之和为2005，需要截取74个循环节，再加上和等于7的几个数字。显然，要使这一段数字的个数最多，应使和等于7的数字个数尽可能多，从1＋4＋2＝7得，这一段数字中最多有74×6＋3＝447（个）数字；要使这一段数字的个数最少，应使和等于7的数字个数尽可能少，而循环节中正好有一个7，由于这个7必须在所截取的74个循环节的前（或后）一位上，所以只要从第一个7开始，再连续截取74个循环节，即截取的一段数字是7142857142857…142857（其中有74个“142857”），这段数字的和就是2005，所以这一段数字中最少有74×6＋1＝445（个）数字。