以退为进巧解题

黄伟进

同学们在解题时可能遇到过这样的情况：有些题目用一般的方法解时，好像缺少条件，不知该从何处入手。这时我们不妨换一种思维方法，以退为进，寻找解题突破口，以便使问题得到顺利解决。下面就列举两例加以说明。

例1. 下图中两个同心圆的圆心为O，两端在外圆上的线段AB与内圆相交于点C，已知AB长10厘米，求圆环的面积。

分析与解：求圆环的面积，一般的方法是用外圆的面积减去内圆的面积。但是因为这道题中没有告诉我们外圆和内圆的半径，所以无法直接求出外圆和内圆的面积。这时我们不妨以退为进，使图形由一般变为特殊。我们可以把内、外圆的半径看作任意大，也可以看作无限小。如果将内圆的半径尽量缩小，直到变成一个点，和圆心O重合，此时内圆的面积为零。而外圆的半径也随着缩小，但AB的长度始终保持10厘米不变，外圆就变成直径是10厘米的圆。求出这个圆的面积也就求出了原题中圆环的面积，列式为：

（平方厘米）

例2. 小华和爸爸分享“红、黑甜品”––––红豆沙加黑芝麻糊。小华先将两勺红豆沙倒进盛有黑芝麻糊的碗中，搅匀后再取回两勺放入原先盛有红豆沙的碗中，混合后，爸爸问小华：“如果混合前红豆沙与黑芝麻糊的体积相同，那么混合后红豆沙中含黑芝麻糊的分量与黑芝麻糊中含红豆沙的分量比较，哪一个多？”同学们，你知道正确的答案是什么吗？（第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级试题）

分析与解：如果已知红豆沙和黑芝麻糊原来的体积，就很容易算出谁的分量多了，而题中没有告诉我们这个条件，我们不妨退一步想，假设红豆沙和黑芝麻糊尽量的少，少到都只有两勺，这样问题就变得非常简单了。

分析题意，可知小华将两勺红豆沙倒进黑芝麻糊中后，红豆沙刚好取完，黑芝麻糊碗中的黑芝麻糊和红豆沙各占一半，各有两勺。搅匀后再取出两勺放回到原来盛红豆沙的碗中，这时两只碗中各有一勺红豆沙和一勺黑芝麻糊，所以正确的答案是一样多。