图形与求和

刘洪志

在我们的生活中有很多有趣的现象，有时数字和图形之间也存在着某种联系，它们之间可以相互转化和变换，在变换和转化的过程中我们可以学到很多数学知识。请看下面这道题：

［题目］（1）观察下面的图形，你发现了什么规律吗？按照你发现的规律在下面的“______”上画出合适的图形。（2）如果下面的每个图形中小正方形的个数可分别记作：那么你能从中发现规律并求出吗？

［一般解法］其实题目中的第（1）小题是要考查我们的观察能力和分析问题以及解决问题的能力。根据图形中水平方向每层中小正方形个数的变化或者竖直方向每列中小正方形个数的变化发现规律：图1可以说成一行或一列，有1个小正方形；图2可以说成有两层，第一层有一个小正方形，第二层有两个小正方形。或者说有两列，第一列有一个小正方形，第二列有两个小正方形……依此类推，图4中小正方形的摆放应是：

如果我们在思考第一问的同时，想一想每个图形中的小正方形一共有多少个，就不难发现：图1中有1个小正方形，也就是。图2中有3个小正方形，也就是。同理可得，，……所以。

［巧妙解法］如果从每个图形中小正方形摆放的层数和每层中摆放的个数来思考，则题中每一个图形都可以看成是一个不规则的梯形，每个图形中小正方形的个数都可以用梯形的面积公式来计算（其中a为最上层小正方形的个数，b为最下层小正方形的个数，h为小正方形的层数），则n层小正方形的个数可表示为。