巧取名次

李国生

［题目］越野比赛有两个队参赛，每队三人。比赛规定第N个到达终点的人得N分（），得分少的队获胜。获胜队的三名队员取得的名次有几种可能？

［一般解法］我们采用列举法。由于总分为：

（分），所以只要这一队的得分少于或等于10分就可获胜。

（1）当前两人为第1、2名时：第3个人的名次可取3、4、5、6，有4种取法；

（2）当前两人为第1、3名时：第3个人的名次可取4、5、6，有3种取法；

（3）当前两人为第1、4名时：第3个人的名次可取5，有1种取法；

（4）当前两人为第1、5名时：第3个人的名次只可取6，但不符合要求；

（5）当前两人为第2、3名时：第3个人的名次可取4、5，有2种取法；

（6）当前两人为第2、4名或第2、5名时：第3个人的名次取什么都不符合要求；

（7）当前两人为第3、4名或第3、5名时：第3个人的名次取什么都不符合要求；

（8）当前两人为第4、5名时：第3个人的名次取什么都不符合要求。

综上所述，获胜队三名队员的名次的取法一共有4＋3＋1＋2＝10（种）

［巧妙解法］由于两队的总分为：（分），所以两队之中必有一队的得分少于或等于10分，则另一队的得分必定大于10分，也就是其中一半获胜，还有一半失败。所以，只要求出总的积分的情况数，其一半数即为获胜数。

从6个不同的数中取3个数排成一队，第一个有6种取法，第二个有5种取法，第三个有4种取法，共有（种）取法。而这些取法中有重复的，例如：1、2、3，就有1、3、2、2、1、3、2、3、1、3、1、2、3、2、1共6种情况，所以总数应为（种）。则，获胜队三名队员名次的取法一共有（种）。

练一练：

如果将上题中的每队三人改为每队四人、每队五人，请运用上述方法求出结果。