先求平均数

罗日龙

贵刊2004年第3期发表了《巧算自然数之和》一文，介绍了一种计算自然数之和的方法。例如：1+2+3+…+24+25=（1+3+…+23+25）+（2+4+…+22+24）=13×13+12×13=169+156=325。算理是：“1+3+5+…+23+25”中有13个奇数，它们的和是13的平方169；“2+4+6+…+22+24”中有12个偶数，它们的和是（12×13）156。

这种方法不够简便，学生也难以理解。计算自然数之和的方法有很多，其中最简便实用、学生最容易理解的方法是先求出平均数，再乘以个数，而平均数等于首尾两数和的一半。现以原文中的题目为例。

例1. 1+2+3+…+24+25

=（1+25）÷2×25

=13×25

=325

例2. 1+2+3+…+98+99+100

=（1+100）÷2×100

=50.5×100

=5050

例3. 1+2+3+…+84+85+86

=（1+86）÷2×86

=43.5×86

=3741

例4. 1+2+3+…+118+119+120

=（1+120）÷2×120

=60.5×120

=7260

这种方法不仅适用于计算“从1加到任意数”的题目，还可计算等差数列（从第二个数起，任一个数与前一个数的差相等）之和，计算个数时可根据“个数=（大数－小数）÷差+1”。只要同学们认真观察、归纳，就能得出这个公式。

例5. 1+4+7+…+97+100

=［（1+100）÷2］×［（100－1）÷3+1］

=50.5×34

=1717

例6. 45+50+55+…+235+240+245

=［（45+245）÷2］×［（245－45）÷5+1］

=145×41

=5945

同学们，只要你掌握了“和=平均数×个数”“平均数=（首数+尾数）÷2”“个数=（大数－小数）÷2+1”这三个公式，所有求等差数列的和的题目就难不倒你们了！不信你们可以试试看。