［分解质因数］法解题举隅

陈天鸿 潘碧贞

在与数的整除相关的知识中，每个知识点都有它的实际价值。我们要在辨析、应用中理解并掌握它们。如约分要应用求两个数的最大公约数的方法及分数的基本性质，通分要应用求几个数的最小公倍数的方法及分数的基本性质等。那么，分解质因数有它的实用价值吗？回答当然是肯定的。

例1. 一个最简分数的分子和分母都是合数，且分子与分母的积是210。你认为符合上述要求的分数有多少个？其中最大的分数是哪一个？

分析与解：由题意可知，要把210分解成两个合数的积且它们是互质数。由210=2×3×5×7可知，符合条件的两个数有以下三组，它们分别是：14（2×7）和15（3×5）、6（2×3）和35（5×7）、10（2×5）和21（3×7）。可以看出符合题目要求的分数共有6个：，其中最大的分数是。

例2. 有一个整数，用它分别去除63、91、129得到的余数的和是25，求这个整数。

分析与解：如果几个数都能被某一个数整除，那么这几个数的和也能被这个数整除。因此由题意可知（63+91+129）－25=258也能被这个整数整除，也就是说这个整数是258的一个约数。又因为用这个整数去除63、91、129得到的余数的和为25，所以可知其中的一个余数一定大于8，从而可知这个整数也大于8。另外，这个整数不会大于这三个被除数63、91、129中最小的一个数63。

综上所述，这个整数在8与63之间。因为将258分解质因数，所以符合要求的数只有43，因此这个整数是43。

例3. 某班学生在班主任老师的带领下去植树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生每人植树的棵树相同，则共植了1073棵，那么平均每人植树多少棵？

分析与解：由题意可知，植树师生的总人数与每人植树的棵数的乘积为1073，也就是说师生的总人数与每人植树的棵数都是1073的约数。又已知学生的人数恰好是3的倍数，所以师生总数是被3除余1的数。所以，只要把1073分解质因数，就可以找到植树师生的总人数及平均每人植树的棵数了。将1073分解质因数：1073=29×37。在29与37中，只有37是被3除余1的数，即植树师生的总人数。所以，平均每人植树29棵。

练一练：

已知甲数比乙数大5，乙数比丙数也大5，甲、乙、丙三个数的乘积是6384。求甲、乙、丙三个数的和是多少？