从最大公约数想起

杨国义

例1. B是自然数，A是一个数字，如果那么B=_________。（2004年小学数学奥林匹克竞赛预赛试题B卷）

[分析与解] 根据纯循环小数与分数之间的关系，可得，所以。从中可以看出：要确定B的数值，先要确定A是几。我们可以从分母444与999的最大公约数入手分析。由（444，999）=111可知，可以先把化成分母是111的分数，再化成分母是444的分数，这样问题就迎刃而解了。显然，要把化成分母是111的分数，分子与分母应有公约数9，即分子应能被9整除，由“一个数各数位上的数字的和能被9整除，这个数就能被9整除”可知3+A+7=10+A应是9的倍数，所以A=8，因此可得：

例2. 在下面的算式中，A、B是两个自然数，C、D、E、F分别代表0~9十个数字中的四个不同的数字，那么A+B的最小值为___________。（2003年小学数学奥林匹克竞赛预赛试题B卷）

[分析与解] 根据纯循环小数与分数之间的关系，可得，所以要使A+B的值最小，除了要使分子尽可能小以外，还要使分子与分母9999的公约数尽可能大。

将分母9999分解质因数：9999=9×11×101。因为一个一位数或两位数乘以101所得的积中一定有相同的数字，例如：6×101=606，38×101=3838等，所以由“C、D、E、F分别代表0~9十个数字中的四个不同的数字”可知分子不可能有约数101。所以分子和分母9999的最大公约数是：9×11=99。

要使分子尽可能小，就得使C=0，使是99的尽可能小的倍数。显然，分子不能是99的1倍，而99的2倍198的各位数都不同，正好符合题目要求，因此，所以A+B的最小值为：101+2=103。