运动中的几何问题

杨国义

我们平时遇到的几何问题大多是静态的，但也有些是运动着的，在解决与运动有关的几何问题时，要认真分析并弄清运动着的物体所经过的路线或范围，这样才能正确解题。

例1. 如图1，有一个半径为1厘米的小铁环，沿着半径为4厘米的大铁环的内侧作无滑动滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原来的位置时，小铁环自转了几圈？

图1

分析与解：因为大铁环的周长是2×3.14×4＝25.12（厘米），小铁环的周长是2×3.14×1＝6.28（厘米），所以小铁环沿大铁环的内侧滚动一周回到原来的位置时，一共滚了25.12÷6.28＝4（圈）。但是，如图1所示，小铁环在沿大铁环内侧作逆时针滚动的过程中，同时它本身也在作顺时针滚动，当回到原来的位置时，小铁环正好作顺时针滚动一圈，所以小铁环自转了4－1＝3（圈）。

也可以这样算：根据小铁环自转的圈数＝小铁环圆心经过的路程÷小铁环的周长，先求出小铁环圆心经过的路程，即半径为4－1＝3（厘米）的圆周长是厘米，再求出小铁环的周长是2厘米，最后求出小铁环的自转圈数是（圈）。

例2. 如图2，正方形的边长是4.71厘米，圆环的半径是1厘米，当圆环绕正方形无滑动地滚动一周，又回到原来位置时，这个圆环转了几圈？

图2

分析与解：因为圆环滚动到正方形的每个角上时，都要零距离滚动旋转90°（如图3），经过正方形的四个角一共要旋转360°，正好转一圈；当再滚动一周回到原位置时，圆环滚动所经过的距离就是正方形的周长，所以这个圆环转了4.71×4÷（2×3.14×1）＋1＝4（圈）。

图3

例3. 如图4，一个直径为2厘米的圆环，沿着边长是6厘米的正方形外侧，无滑动地滚动一周回到原来位置时，这个圆环滚过的面积是多少？

图4

分析与解：从图5可以看出：圆环滚过的地方由4个相同的长方形和4个相同的圆组成，其中4个长方形的总面积是6×2×4＝48（平方厘米），4个相同的圆 的总面积，就是一个半径为2厘米的圆的面积，即3.14×2²＝12.56（平方厘米），所以圆环滚过的面积是48＋12.56＝60.56（平方厘米）

图5

［练一练］

如图6，大圆的半径是10厘米，小圆的半径是2厘米。现让小圆沿着大圆的内侧滚动一周，则小圆的圆心经过的路程是多少？小圆滚过的面积是多少？

图6