圆柱体与圆锥体中比的问题

孙湘文 王双

“比”是六年级所学的一个重要内容，它在许多题目中都有广泛的应用，如果能灵活地利用份数比，一些需要设单位“1”解答的题就变得简单多了。

等底、等高的圆柱体和圆锥体，圆柱的体积是圆锥体积的3倍。它们之间的这一特殊关系衍生出许多题目，如在两者的底面积、高和体积中，已知任何两个量的比，求另一个量的比等。许多同学觉得这种类型的题目很棘手，不知如何解答，下面我们就用几个典型的例题来说明如何解答这类问题。

例1. 圆锥体与圆柱体底面积的比是3：5，高的比是2：1，求它们的体积比。

分析与解：在这道题中，已知底面积的比和高的比，求体积的比。我们可以根据已知条件把它们的底面积分别看作3份、5份；把它们的高分别看作2份、1份，那么：

圆锥的体积

圆柱的体积

所以它们的体积比是2：5。

根据它们底面积的比和高的比，把它们在比中所占的份数看作它们的底面积和高，再代入公式，就能简捷地求出它们的体积比了。

例2. 圆锥体和圆柱体的体积比是4：1，底面积的比是3：2，求它们高的比。

分析与解：这道题已知圆锥体与圆柱体的体积比和它们的底面积之比，求高的比。我们可以先把这道题分成两道小题，仍然运用例1的解题方法。

（1）已知圆锥的体积是4，底面积是3，求圆锥的高。

圆锥的高

（2）已知圆柱的体积是1，底面积是2，求圆柱的高。

圆柱的高

所以它们高的比是。

这道题要注意在计算圆锥体的高时应先把体积乘以3，再除以底面积。

例3. 已知圆柱体与圆锥体的体积相等，它们高的比为5：7，求它们底面积的比。

分析与解：圆柱体与圆锥体的体积相等，即它们的体积比为1：1，解题思路与例2相同。

圆柱的底面积

圆锥的底面积

所以它们底面积的比为，化简为7：15。

这种类型的问题可以利用比的知识来解答，也可以用分数应用题中设单位“1”的方法来解答，把比的问题转化为分数问题。

如例1，我们也可以这样做：设圆柱体的底面积和高均为单位“1”，那么圆锥体的底面积为、高为2。圆柱体的体积为1×1＝1，圆锥体的体积为。

所以它们的体积比为，化简为2：5。

设单位“1”解答这类问题，要选择同一个量作为单位“1”，这样才能准确解答。

解决问题的方法是多样的，同学们可以选择自己喜欢的方法来完成。而这种利用份数比解决问题的方法也可以推广到其他类型的题目中。