图形折叠问题
曲艳红
图形的折叠实际就是反射变换或者说是对称变换，或者说是翻折。这类问题大都联系实际，内容丰富，解法灵活，具有开放性，有利于考查解题者的动手能力，空间观念和几何变换的思想。
例1. 折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠AD边与对角线BD重合，得折痕DG。若AB=2，BC=1，求AG。
解：作GE⊥BD，垂足为E。
设AG=x，则
，
易知
，则GE=x，
根据勾股定理可知
，
所以
在
中，由勾股定理得
，
解得
例2. 如图2，矩形纸片ABCD的长AD=9cm，宽AB=3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别是多少？
解法一：设
，则
，
在
中，由勾股定理得
，
解得
，即
。
连结BD，设BD与EF交于点O，易得
，由题意可知EF是BD的中垂线，
所以
，EF⊥BD，
在
中，由勾股定理得
，
所以
。
解法二：求DE同上法，再作EG⊥BC，垂足为点G。
易知
，
，
所以
，
所以
。
例3. 四边形ABCD是一块矩形纸片，E是AB上一点，且BE：EA=5：3，EC=
，将△BCE沿折痕EC翻折，若点B恰好落在AD边上的点F上，求AB、BC的长。
解：连结EF、FC、BF。
设BF交EC于M。
因为B、F关于EC对称，
所以BF⊥EC，BE=EF，
。
设BE=5x，则
。
因为
，
所以
因为
，
所以
，
所以
，
所以BC=30。
所以
，
即
，所以
，
所以
。
例4. 如图4，一张宽为3，长为4的矩形纸片ABCD，先沿对角线BD对折，点C落在点
的位置，
交AD于G，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，则ME的长为多少？
解法一：延长BA、
交于F，由轴对称性质知
。
所以
又因为
，
所以
，所以
。
再根据EN是折痕可知：EN垂直平分AD，所以EN//AB。
又因为M是AD中点，所以E是DF中点，
所以EM是△DFA的中位线。
令EM=x，则
FA=2x，FD=FB=2x+3，
所以
。
解得
，即
。
解法二：连结GN，易证△BGD是等腰三角形。
因为A点、D点关于EN对称，
所以N是BD的中点，所以GN⊥BD，
所以Rt△GND∽Rt△BAD，
所以
。
而
所以
。
又因为
，
所以
又因为Rt△DME∽Rt△
，
所以
，
。
例5. 如图5，有一块面积为1的正方形ABCD，M、N分别为AD、BC边上的中点，将点C折至MN上，落在点P位置，折痕为BQ，连结PQ。
（1）求MP；
（2）求证：以PQ为边长的正方形面积等于
。
解：（1）连结BP、PC，把MN看作是正方形对折的折痕，则BP和PC关于MN对称，故BP=PC。
因为C点和P点关于BQ（折痕）成轴对称，
所以BQ垂直平分PC，
所以BP=BC，∠CBQ=∠PBQ，
所以BP=PC=BC=1，
所以△PBC是等边三角形，
所以∠CBQ=∠PBQ=30°。
在Rt△BPN中，
，
所以
。
（2）证明：由折叠可知，
。
在Rt△QCB中，
，
所以以PQ为边长的正方形面积是
。
例6. 如图6，把矩形ABCD对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕上，得到Rt△ABE，沿着EB线折叠得到△AEF，若矩形的宽CD=4，求△AEF的面积。
解：由题意可知：EC//BN//AD。
因为N是CD中点，所以B是EF中点。
又因为∠EBA=90°，所以AB⊥EF，
所以AB是EF的中垂线，所以AE=AF。
因为AE是折痕，所以2∠EAB+∠BAF=90°，
所以3∠EAB=90°
所以∠EAB=30°，所以∠EAF=60°，
所以△AEF是等边三角形。
设BE=x，则AE=2x，
又因为AB=4，所以
，
解得
，所以
，
所以
。
例7. 如图7，已知将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在处，交AD于E，AD=8，AB=4，求△BDE的面积。
解：易证△BDE是等腰三角形，
所以
。
作EF⊥BD，垂足为F，
则
。
因为△BEF∽△
，
所以
，
又因为
，
，
所以
，所以
。
所以
。
例8. 如图8，把矩形纸片OABC放入直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上。连结AC，且
，
。
（1）求A、C两点的坐标；
（2）求AC所在直线的函数解析式；
（3）将纸片OABC折叠，使点A与点C重合（折痕为EF），求折叠后纸片重叠部分的面积。
解：（1）因为，
所以
，
即OA=2OC。
因为
，
所以
。
所以点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（0，4）。
（2）设AC所在直线的函数解析式为y=kx+b，把A（8，0）、C（0，4）代入，得
解得
。
所以AC所在直线的函数解析式为
。
（3）因为纸片OABC折叠后，点A与点C重合，所以折痕EF垂直平分AC，所以EC=EA。
设EC=EA=t。
因为
，
所以
，
解得t=5，
所以
，
所以
。
