［多边形的内角和与外角和］知识精讲

宋海蓝

一、多边形及其相关的概念

1. 多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。

理解时应注意两点：

（1）在平面内；

（2）线段首尾顺次相连。

如：图1是六边形ABCDEF。

图1

2. 正多边形：在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形。

正多边形应具备两个条件：

（1）各个内角大小相等；

（2）每条边长度相等。

3. 多边形的内角：多边形相邻两条边组成的角叫做多边形的内角。

如图1所示，∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F是六边形的6个内角，多边形内角的个数与边数相等。

4. 多边形的内角和：多边形所有内角的和叫做多边形的内角和。如图1所示，六边形ABCDEF的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F。

5. 多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。如图2所示，延长CD，则∠2是六边形ABCDEF的一个外角。在多边形的一个顶点处可画出两个外角。

图2

6. 多边形的外角和：在多边形的每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。如图2所示，六边形ABCDEF的外角和为∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6。

7. 多边形的对角线：在多边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。连接n边形的一个顶点和其他不相邻的各顶点，可得（）条对角线，如图3所示，线段AC、AD、AE是六边形ABCDEF的三条对角线。

图3

二、多边形的内角和与外角和公式的推导

1. 多边形内角和公式的推导：n边形的内角和等于。

推导过程：如图所示，从n边形的一个顶点A₁出发，可以引(n－3)条对角线，它们将n边形分成(n－2)个三角形，所以n边形的内角和就等于(n－2)·180°。

2. 多边形外角和公式的推导：多边形的外角和都等于360°。

推导过程：设n边形的内角分别为∠1，∠2，∠3，…，∠n，则与它们相邻的外角分别为，所以外角和为。