改变你的思维角度

��倒着干

汤逸平

有些问题，如果从正面考虑，往往会耗尽精力也一筹莫展。遇到这种情况时，不妨改变你的思维角度，从完全相反的方向去考虑问题，即：转过身去，从目标走开，不盯住目标行动，不按照直接通往目的地的路线走��“倒着干”。这种反常思维的结果常常会把我们的解题思路从“山穷水尽”的地步引到“柳暗花明”的境界。现举数例佐证如下：

例1 化简：。

分析：按常规的方法进行通分，显然最简公分母比较复杂。可从异分母分数运算逆向考虑，便有，于是发现

解：原式=

例2 已知实数a，b（）满足，求的值。

分析：直接从两个方程中求出a、b的值，再代入后求值，显然是一种方法。但从两个方程中求a、b的过程，本身就不容易；即便求出a、b后再求的值更复杂。但观察前两个关于a，b的方程，容易发现其结构完全相同，于是我们不妨换个角度想问题，把a、b看作方程的两个不相等的实根。

解：依题意，a，b是方程的两个不相等的实根，所以

，

于是。

例3 已知二次方程与中至少有一个方程有实数根，求的取值范围。

分析：至少有一个方程有实数根的意义是：只有第一个方程有实数根而第二个方程没有实数根；只有第二个方程有实数根而第一个方程没有实数根；也可能两个方程都有实数根这样三种情形。要是分别求解，这样的过程无疑是繁琐的。当然我们也可以改变思维角度，从两个方程都没有实数根着手。

解：记两个方程的判别式分别为。

则，。

若两个方程都没有实数根，即

解得。

所以，至少有一个方程有实数根时的k的取值范围是。

例4 某县位于沙漠边缘，经过长期治沙，到2004年底，全县沙漠的绿化率已达30%，此后每年将当年年初未被绿化的沙漠面积的m%进行绿化，到2006年底，该县沙漠的绿化率已达43.3%，求m的值。

分析：未被绿化的面积平均每年为，两年后未被绿化的面积就是原来的，显然容易得到下列解法。

解：根据题意，得

，

解得（不合题意舍去）。

所以m=10。

例5 王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给每位学生设计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片，若在活动中表现优胜者，可依次用彩色纸片覆盖圆面积的，，，…。请你根据数形结合的思想，依据图形的变化，推断当n为正整数时，__

___________。

分析：直接求？简直无从下手。但从图形上可以直观地看到：剩下的那一个扇形，只要有一个优胜，就将覆盖其二分之一，于是从整个圆面积为1着手，便有如下的解法。

解：如下图可知

，

所以原式=。

从上面所列举的五个例题可以看到，当按常规思维思考问题解答而无法进行时，我们不妨换个角度去思考，也许会收到意想不到的效果。