平方根与算术平方根概念辨析

裴义明

平方根与算术平方根是初中数学中的两个重要概念，因为它们定义相近，联系紧密，所以初学的同学很容易混淆。为帮助同学们正确理解和区分这两个概念，现将它们的区别与联系总结如下：

一、区别：

1、定义不同。

平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x叫做a的平方根。例如，，2是4的平方根，，－2是4的平方根，即2和－2都是4的平方根。

算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根（特别规定：0的算术平方根是0）。例如，，正数2是4的算术平方根。虽然，但－2不是正数，所以－2不是4的算术平方根。

2、表示方法不同。

平方根：一个非负数a的平方根记做。例如，5的平方根记做。

算术平方根：一个非负数a的算术平方根记作。例如，5的算术平方根记作。

3、个数不同。

平方根：一个正数有两个平方根，它们互为相反数。例如，16的平方根有两个，一个是4，另一个是－4。

算术平方根：一个正数的算术平方根只有一个，且这个数是正数。例如，16的算术平方根只有一个，是4。

二、联系

1、二者之间存在着从属关系。

一个正数的平方根包含了这个正数的算术平方根，算术平方根是平方根中的一个。

例如，的两个平方根是，其中是的算术平方根。

2、二者被开方数的取值范围相同。

只有非负数才有平方根，负数没有平方根。

只有非负数才有算术平方根，负数没有算术平方根。

一个数没有平方根，它一定也没有算术平方根。

三、典型例题

例1 求下列各数的平方根。

（1）121 （2） （3）0 （4）

解：（1）因，故121的平方根是。

（2）因，故的平方根是。

（3）因，故0的平方根是0。

（4）因，故的平方根是。

评析：求数a的平方根，就是要把平方后等于a的数都找出来。正数的平方根有两个，不要丢掉负的平方根。

例2 求下列各数的算术平方根。

（1）225． （2） （3）0.49 （4）

解：（1）因，故225的平方根是，取正的平方根，即225的算术平方根是15。

（2）因，故的算术平方根是，即。

（3）因，故0.49的算术平方根是0.7，即。

（4）因，而，所以的算术平方根是5。

评析：求正数a的算术平方根，只需找出平方后等于a的正数。

例3 下列说法是否正确？为什么？

（1）5是25的平方根。

（2）25的平方根是5。

解：（1）正确。因，所以5是25的平方根。

（2）不正确。因都等于25，所以25的平方根是。

评析：判断x是不是a的平方根，只需看是否等于a，若，那么x就是a的平方根，求a的平方根，则需将所有平方后等于a的数全部找出来。

例4 下列说法正确的是（ ）

A. －5是的算术平方根

B. 81的平方根是

C. 2是－4的算术平方根

D. 9的算术平方根是

解：选B。

评析：解答此题的关键是理解、掌握平方根和算术平方根的联系和区别。只有非负数才有平方根和算术平方根，所以选项C错误；一个正数有两个平方根，其中正的平方根才叫做算术平方根，所以选项A、D错误。

例5 求下列各式的值。

（1） （2） （3） （4）

解：（1）

（2）

（3）

（4）

评析：解这类题的关键是弄清三种符号的意义：表示a的平方根，表示a的算术平方根，表示a的负的平方根。

例6 下列各式正确的是（ ）

A. B.

C. D.

解：选D

评析：解答此题的关键是掌握平方根和算术平方根的定义和表示方法。一个正数a的平方根记为，它的结果是互为相反数的两个数，所以C错误。一个正数a的算术平方根记为，它的结果是一个正数，所以A、B错误。