不等式的特点与规律

不等式的特点与规律

孔凡哲李寒月

数量关系是数学研究的核心内容之一，数量关系既包括等量关系，也包括不等量关系，与刻画等量关系的等式、方程、函数等模型不同，不等式则是刻画普通存在的不等关系的典型模型。理解进而掌握不等式模型，不仅可以深化对等式、方程等模型的理解，而且可以丰富自己的数学认知结构，为后续学习奠定重要基础。为此，我们必须努力做到以下三个方面。

一、理解不等关系

不等关系与相等关系既是矛盾对立的，也是相互统一的。

事实上，对于两个量a、b之间的不等关系a>b，如果我们引入一个实数，使得，那么，，即是一个正数，从而不等关系a>b可以等价地转化为相等关系（其中是一个正数）。

二、理解不等式的基本性质

对此我们可以从以下三个方面进行思考

1、类比等式性质理解和掌握不等式性质

等式有很多基本的性质，不等式也是如此。在理解不等式的基本性质时，我们可以借助类比的思想，对照等式相应的性质，感受不等式的基本性质。

但是，对于性质3“不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，我们要知道这时不等号的类别不变，但方向改为原来的相反方向，即<、>、、依次改为。这是等式里所没有的，解不等式时尤其要注意这一点。

2、能够初步证明不等式的有关性质。

利用“（其中是一个正数）”，我们可以很简捷地证明不等式的三个基本性质。

例如，对于性质1“若a>b，则”，因“（其中是一个正数）”，于是，由等式性质，得，即，从而必有。同样地，对于性质2和性质3，利用“（其中是一个正数）”也能很容易地证明。

3、能够利用不等式的性质解决有关问题

解不等式的过程，实际上就是利用不等式的基本性质以及相关的法则将不等式变形的过程。我们可以类比解一元一次方程（组）的过程解一元一次不等式（组）。当然，二者最大的不同在于不等号的变化，解方程（组）时不会涉及这一点。

三、理解与不等式有关的建模思想

在运动变化过程中，如果用函数模型刻画运动变化的两个变量x、y之间的关系，那么，方程模型刻画的是x、y变化过程中某一瞬间的情况，而不等式模型刻画的是变化过程中x、y之间的大小关系，是更普遍存在的状态。建立不等式模型，需要我们将现实问题“数学化”，即根据问题情境中的数量关系，列出不等式，进而解不等式，最后还要将结果“翻译”到现实问题中，检验其是否符合实际意义。

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