三角形外角的性质及应用

蔡志武 阮正法

角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。本文谈谈三角形外角的性质及应用。

一. 三角形外角的概念及特征

如图1，像∠ACD那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。

图1

外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；

（2）一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；

（3）另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。

二. 性质

1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。

2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

4. 三角形的外角和等于360°。

三. 应用

1. 求角的度数

例1. （ 2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是55°和65°，这个三角形的外角不可能是（ ）

A. 115° B. 120° C. 125° D. 130°

解析：如图2，∠A的外角为：180°=125°。

∠B的外角为：180°－65°=115°

∠ACB的外角为：55°+65°=120°

所以选D。

图2

例2. （2005年浙江省宁波市中考）如图3，AB//CD，∠B=23°，∠D=42°，则∠E=（ ）

A. 23° B. 42° C. 65° D. 19°

图3

解析：延长BE交CD于F

因为AB//CD

所以∠1=∠B=23°

∠BED是△EDF的外角

则∠BED=∠1+∠D=23°+42°=65°

故选C。

例3. （2006年重庆市中考）如图4，AB=AC，∠BAD=，且AE=AD，则∠EDC=（ ）

A. B. C. D.

图4

解析：设∠EDC=x°

因为∠ADC是△ABD的外角

所以∠ADC=∠ABC+∠BAD

即∠ADE+x=∠ABC+ （1）

因为AB=AC，AD=AE

所以∠B=∠C，∠ADE=∠AED

而∠AED是△DEC的外角

所以∠AED=∠EDC+∠C

即∠AED=x+∠C （2）

将（2）代入（1）得：

所以

所以选A。

2. 判定三角形的形状

例4. （2003年成都市中考）已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（ ）

A. 锐角三角形

B. 直角三角形

C. 钝角三角形

D. 以上三种情况都有可能

解析：如图5，在三角形ABC中，∠BAC的外角∠CAD<∠BAC

而∠CAD+∠BAC=180°

即：∠CAD=180°－∠BAC

所以180°－∠BAC<∠BAC

所以∠BAC>90°

故选C

图5

3. 证明两角相等

例5. （2002年福建省龙岩市中考）如图6，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在BC、AC边上，且∠ADE=∠B，AD=DE。求证：△ADB≌△DEC。

图6

分析：因为∠ADC是△ADB的外角

所以∠ADC=∠B+∠BAD

而∠ADE=∠B，∠ADC=∠ADE+∠CDE

所以∠ADE+∠CDE=∠ADE+∠BAD

因此∠BAD=∠CDE

又AB=AC，可得∠B=∠C

而AD=DE

所以△ADB≌△DEC

例6. （2004年荆州市中考）在等边三角形中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，BP=1，，则△ABC的边长为（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

图7

分析：因为△ABC为等边三角形，所以∠B=∠C=60°

又因为∠APC是△ABP的外角

所以∠APC=∠B+∠BAP

而∠B=∠APD=60°

所以∠BAP=∠CPD

又∠B=∠C，所以△ABP∽△PCD

所以。

设△ABC边长为x，则

解得x=3

故选A

4. 证明角度不等关系

例7. 已知，如图8，在△ABC中，D是三角形内一点，求证：∠BDC>∠BAC。

图8

证明：延长BD交AC于E

在△ABE中，∠BEC>∠A

在△CDE中，∠BDC>∠BEC

所以∠BDC>∠A

例8. 已知：如图9，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AD上一点，求证：∠DEC>∠ABC。

图9

证明：因为∠BAC=90°

所以∠BAD+∠DAC=90°

又因为AD⊥BC

所以∠ADB=90°

所以∠ABC+∠BAD=90°

所以∠ABC=∠DAC

又因为∠DEC是△AEC外角

所以∠DEC>∠DAC

所以∠DEC>∠ABC

5. 证明角度的和差关系

例9. 如图10，已知：在△ABC中，AB>AC，∠AEF=∠AFE，延长EF与BC的延长线交于G，求证：。

图10

证明：因为∠AEF=∠B+∠G

又因为∠AEF=∠AFE，∠AFE=∠GFC

所以∠AEF=∠GFC

所以∠GFC=∠B+∠G ①

又因为∠ACB=∠GFC+∠G ②

①+②得：∠ACB=∠B+2∠G

所以

例10. 如图11，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。

图11

证明：如图11，∠1=∠C+∠D，∠2=∠A+∠E

而∠1+∠2+∠B=180°

所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°

练习：

1. （1996年昆明市中考）如图12，、、分别是△ABC的外角，且，则∠ACB等于（ ）

A. 20° B. 30° C. 40° D. 80°

图12

2. （2004年陕西省中考）如图13，在锐角三角形中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P。若∠A=50°，则∠BPC的度数是（ ）

A. 150° B. 130° C. 120° D. 100°

图13

3. （2005年浙江省中考）如图14，直线a//b，则∠A=_________度。

图14

4. 如图15，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。

（提示：利用如图∠1、∠2即可）。

图15