建立不等式（组）模型解一类应用题

张明 刘明学

在我们的现实生活中，不等关系非常普遍。因此，利用不等式（组）解决问题是常见的方法。一般来说，当问题中出现“不超过”、“最多”、“至少”等关键词的实际应用题时，可考虑建立不等式（组）的数学模型解之。下面结合2006年中考题加以说明。

例1. （2006年广东省）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果。求这一箱苹果的个数与小朋友的人数。

解：设有x人，则苹果有（5x+12）个。

由题意，得

解得

因为x为正整数，所以x=5或6

当x=5时，5x+12=37个；

当x=6时，5x+12=42个。

答：略。

例2. （2006年黑龙江省）某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元；每件乙种商品进价8万元，售价10万元，且它们的进价和售价始终不变。现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元，不高于200万元。

（1）该公司有哪几种进货方案？

（2）该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润是多少？

（3）若用（2）中所求得的利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案。

解：（1）设购进甲种商品x件，乙种商品件。

解得

因为x为非负整数，所以x取8，9，10。

有三种进货方案：购甲种商品8件，乙种商品12件；

购甲种商品9件，乙种商品11件；

购甲种商品10件，乙种商品10件。

（2）购甲种商品10件，乙种商品10件时，可获得最大利润，最大利润是45万元。

（3）购甲种商品1件，乙种商品4件时，可获得最大利润。

例3. （2006年诸暨市）某射击运动员在一次比赛中，前6次射击已经得到52环，该项目的记录是89环（10次射击，每次射击环数只取1~10中的正整数）。

（1）如果他要打破记录，第7次射击不能少于多少环？

（2）如果他第7次射击成绩为8环，那么最后3次射击中要有几次命中10环才能打破记录？

（3）如果他第7次射击成绩为10环，那么最后3次射击中是否必须至少有一次命中10环才可能打破记录？

解：设第7、8、9、10次射击分别为、、、环。

（1），

又因为，

所以

所以如果他要打破记录，第7次射击不能少于8环。

（2），

又因为、、只取1~10中的正整数，

所以，

即：要有3次命中10环才能打破记录。

（3），

又因为、、只取1~10中的正整数，

所以、、中至少有一个为10。

即：最后三次射击中必须至少有一次命中10环才可能打破记录。

例4. （2006年盐城市）国家为了关心广大农民群众，增强农民抵御大病风险的能力，积极推行农村医疗保险制度。某市根据本地的实际情况，制定了纳入医疗保险的农民医疗费用报销规定，享受医保的农民可在定点医院就医，在规定的药品品种范围内用药，由患者先垫付医疗费用，年终到医保中心报销。医疗费的报销比例标准如下表：

费用范围	500元以下 （含500元）	超过500元且不超过10000元的部分	超过10000元的部分
报销比例标准	不予报销	70%	80%

（1）设某农民一年的实际医疗费为x元，按标准报销的金额为y元，试求y与x的函数关系式；

（2）若某农民一年内自付医疗费为2600元（自付医疗费=实际医疗费－按标准报销的金额），则该农民当年实际医疗费为多少元？

（3）若某农民一年内自付医疗费不少于4100元，则该农民当年实际医疗费至少为多少元？

解：（1）

（2）设该农民一年内实际医疗费为x元。

则当时，不合题意。

当时，有

，

解得（元），

答：略。

（3）设该农民一年内实际医疗费为x元，

因为，

所以。

根据题意有：

，

解得。

答：（略）