平行四边形精析

赵春祥

本部分知识的重点和难点是平行四边形的性质判定定理（推论）与判定定理在解题中的应用。平行四边形的应用主要包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去求角的度数、求线段的长度、证明角相等或互补、证明线段相等，等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的性质去解决某些问题。

一. 思维误区警示

例1. 一组对边及一组对角相等的四边形是否为平行四边形？

误区警示：如果用满足题设条件的一部分特殊图形，代替适合题设条件的一切四边形，就容易错误地认为这类四边形一定是平行四边形。

正确解法：事实上，一组对边及一组对角相等的四边形不一定是平行四边形。如图1，任意作一等边，在底边BC上取一点E，使，连接AE。作，取ED=AC，连结AD，则四边形ABED满足本题题设条件，但它不是平行四边形。

由作图知，

四边形ABED满足题设条件。

又因，而，故，四边形ABED不是平行四边形。

二. 典型例题精析

1. 证明线段垂直

例2. 如图2，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，M为AB的中点，求证：。

分析：根据平行四边形的性质，不仅它的对角相等，而且相邻的角也互补，这就为证明垂直提供了充分的条件。又从已知中和M为AB的中点，可以得到相等的角。利用“两直线平行，内错角相等”及“等边对等角”的性质，得，问题便能得到解决。

证明：在平行四边形ABCD中，AB//CD，AD=BC。

（内错角），（内错角）

，M是AB的中点

又，所以。由内角和为180°，得∠DMC=90°，所以有。

2. 证明线段平行

例3. 如图3，线段AB、CD交于点O，AC//DB，AO=BO，E、F分别为OC、OD的中点，连接AF、BE。求证：AF//BE。

分析：从已知条件可证，得到。又E、F为OC、OD中点，则，判定四边形AFBE为平行四边形，。

证明：连接BF、AE。因AC//DB，故∠C=∠D。

在中，由，故。

又E、F为OC、OD的中点，则OE=OF。

又，故四边形AFBE是平行四边形，AF//BE。

评析：利用平行四边形的性质，可以证明线段平行。

3. 证明线段相等

例4. 如图4，中，，P是BC上的一点，PE//AC交AB于E，PF//AB交AC于F，请猜出线段PE、PF、AB之间存在什么关系，并证明你的猜想。

分析：从已知条件中不难证明，从而猜想PE、PF、AB之间满足关系式。

证明：

四边形AEPF是平行四边形，PF=AE。

评析：在解决此类探索型问题时，一般通过对已知条件的分析、比较，探索出结论。

4. 求线段的长度

例5. 如图5，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，∠A=120°，∠B=60°，∠BCD=150°。求AD的长。

分析：由∠A和∠B的关系可以判定AD//BC，这样不妨过点C作AB的平行线，构成一个平行四边形，然后利用角之间的关系与平行四边形的性质，使问题得解。

解：过点C作CE//AB交AD于E。因∠A+∠B=180°，故AD//BC。

四边形ABCE是平行四边形。

又因

而，故，所以。

练一练：

1. 如图6，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，点E、A、B、F在一条直线上，且。求证：

2. 如图7，某村有一个呈四边形的池塘，在它的四个顶点A、B、C、D处均种有一棵大核桃树。现该村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘呈平行四边形形状。请问：能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由。

3. 如图8，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，E、F分别为AB、CD的中点，AB=2AD，求证：。

4. 如图9，AD、BC垂直相交于点O，AB//CD。又BC=8，AD=6，求AB+CD的长。