解读反比例函数

戎学智

初中阶段我们学习反比例函数，主要研究其概念、图象、画法，并根据图象归纳反比例函数的性质。学习反比例函数与其他函数一样，要善于利用数形结合思想。

一、解读新知识点

1. 反比例函数的图象及其画法

反比例函数图象是双曲线，它的两个分支分别位于第一、三象限或二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x≠0，函数值y≠0，所以函数图象与坐标轴没有交点，即双曲线的两个分支无限接近于坐标轴，但永远达不到坐标轴。图象如图l、图2所示。

图1

图2

2. 反比例函数的性质

自变量，函数值。当k>0时，函数的两个分支在一、三象限，y随x的增大而减小；当k<0时，函数的两个分支在二、四象限，y随x的增大而增大。

3. 反比例函数中比例系数k的几何意义

（1）如图3，过双曲线上任意一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，所得矩形PMON的面积

。 ①

因为，所以xy=k ②

由①、②得S=|k|。

（2）如图3，过双曲线上任意一点E作EF垂直其中一坐标轴，连接OE，则

。

图3

二. 知识要点的应用

例1. 已知反比例函数，分别根据下列条件求出字母k的取值范围。

（1）函数图象位于一、三象限；

（2）在每个象限内y随x的增大而增大。

分析：由于已知函数的比例系数为，所以根据反比例函数的性质列出不等式，进而求出k的取值范围。

解：（1）因为函数图象位于一、三象限，所以，所以k<4；

（2）因为已知函数在每个象限内y随x的增大而增大，所以，所以k>4。

例2. 如图4，点P是x轴正半轴上的动点，过点P作x轴的垂线PA交双曲线于点A，连接OA。

（1）如图4，当点P在x轴正方向上运动时，Rt△AOP的面积大小是否在变化？若不变，请求出Rt△AOP的面积；若改变，试说明理由；

图4

（2）如图5，在x轴上P点的右侧有一点D，过点D作x轴的垂线交双曲线于点B，连结OB交AP于点C。设△AOP的面积为，梯形BCPD的面积为，则与的大小关系是_________（填“>”、“=”或“<”）。

图5

（3）如图6，AO的延长线与双曲线的另一个交点为F，FH垂直于x轴，垂足为H，连接AH、PF，试说明四边形APFH的面积为常数。

图6

分析：因为反比例函数xy=k，而（1）中，所以其面积不会发生变化；（2）由（1）的结论得，则易知、的大小。

解：（1）Rt△AOP的面积不发生变化，；

（2）；

（3）

注：双曲线中隐含着许许多多的规律，我们在解题中不但要善于发现这些规律，而且要善于总结这些规律。

例3. 在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它受力面积的反比例函数，其图象如图7所示。

（1）求p、S之间的函数关系；

（2）当时，求物体承受的压强；

（3）若物体承受的压强不可超过250Pa时，受力面积至少要多少？

图7

分析：（1）由于反比例函数图象过点a（0.1，1000），由此可求出k的值，注意到图象在第一象限内，所以自变量S的取值范围大于0。至此，（2）、（3）两问也就迎刃而解。

解：（1）设，由a（0.1，1000）在图象上，得

所以，p、S之间的函数关系为；

（2）当时，；

（3）当时，，即受力面积至少为。

注：应用反比例函数的图象解题时，必须认真观察图象特征，从中收集并整理相关信息，用以解决其他一系列问题。