例析方程与不等式混合组问题

例析方程与不等式混合组问题

陈开金

数量的相等关系与不等关系，是现实世界最常见的两种数量关系，我们分别用等式和不等式来进行表示。在某些问题中，限制某一数量的等量关系错综复杂，既有相等关系，又有不等关系，这时就需要我们列出方程与不等式的混合组来解决问题。现举例谈谈处理这类问题的基本思路，供读者参考。

一、通过代入消元，把方程与不等式混合组问题转化为普通的解不等式问题。

例1. 2004年8月中旬，我市受14号台风“云娜”的影响后，部分街道路面积水比较严重。为了改善这一状况，市政公司决定将一总长为1200m的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工。若甲、乙两队合做需12天完成此项工程。若甲队先做了8天后，剩下的由乙队单独做还需18天才能完工。问甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？

又已知甲队每施工一天需要费用2万元，乙队每施工一天需要费用1万元，要使完成该工程所需费用不超过35万元，则乙工程队至少要施工多少天？

解：设甲、乙两队单独完成此项工程分别需要x天，y天，由题意得：

解得

进而

设要使完成该工程所需费用不超过35万元，则乙工程队应施工m天，甲工程队应施工n天，则

答：乙工程队至少需要15天。

说明：在列方程与不等式混合组解决问题时，只需要认清楚问题情境中的数量及关系，把它们自然而然的进行数学化，在建立模型时不需要考虑要关注的具体数量！与列方程、不等式一样，对题中数量关系的把握是关键！在列出方程与不等式混合组后，再立足于要研究的对象（如本题中的m）来确定要消的元（本题中是n），通过把方程变形后代入不等式，最终转化为普通的解不等式问题。

二、通过消元，把方程与不等式混合组问题转化为拥有一定限制条件的不定方程问题，再用枚举法解决问题

例2. “利海”通讯器材商场，计划用60000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求。已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲种型号手机每部1800元，乙种型号手机每部600元，丙种型号手机每部1200元。

（1）若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，请你帮助商场计算一下如何购买。

（2）若商场同时购进三种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，并且要求乙种型号手机的购买数量不少于6部且不多于8部，请你求出商场每种型号手机的购买数量。

解：（1）设甲种型号手机要购买x部，乙种型号手机购买y部，丙种型号手机购买z部，根据题意，得：