利用非负性解题

李继龙

非负性的含义是指大于或等于零。在初中阶段，我们主要学习了绝对值的非负性；平方的非负性；二次根式的双重非负性，即它的被开方数和它的值都是非负的；一元二次方程有实根的条件，即根的判别式为非负；以及方差的非负性。下面从六个方面举例说明它们的运用：

一、利用绝对值的非负性解题

【例1】已知，求x，y。

解析 根据绝对值的非负性知，，，要这两个非负数之和为0，只有每一个非负数都为0，即，，从而，，所以，。

二、利用平方的非负性解题

【例2】若0，计算：________________。

解析 根据绝对值和平方的非负性质，得，解得，，。

所以。

【例3】已知方程组有实数解，试确定a的取值范围。

解析 将方程组进行配方，化成平方形式，利用平方的非负性解题。

将得

即

由于两个等式左边均为平方形式，利用其非负性知，0，0，解之，得，即为所求a的取值范围。

三、利用二次方根的被开方数的非负性解题

【例4】已知，化简。

解析 因为，由二次根式的被平方数为非负性知：且，从而x=2。

所以。

故有。

四、利用算术平方根的非负性解题

【例5】若成立，求x的取值范围。

解析 因为成立，由算术平方根的非负性知，，从而可知，。

【例6】设x、y为实数，且，求的值。

解析 根据算术平方根的非负性知，，，又因为它们的和为0。

所以，故。

所以。

五、利用“”的非负性解题

【例6】已知，求x，y的值。

解析 将其中一个未知数视为一个已知数，整理成一元二次方程的形式，利用其在实数范围内有解的性质，即“”的非负性可求出一个未知数的值。

整理成关于x的一元二次方程的形式，即。

因为。

所以。

显然，只有，

则可求得。

六、利用方差的非负性解题

若数组、、…、的平均数为，则其方差为

。显然，，特别地，由得根据方差的非负性，可以很巧妙地解决一些问题。

【例7】解方程组，求出所有的实数解。

解析 视x、y、z为一组数据，则。

。

，且适合③。

【例8】设实数a、b、c、d、e适合，试求e的最大值。

解析 由题设知

，

则数组a、b、c、d的方差。

，所求e的最大值为。