认识图形的面积

许昊宁

面积是用来说明平面上一个封闭图形大小的量，如图（1），一个边长为1cm的正方形所占的大小称为1平方厘米。如果一个封闭图形的面积是，那么就是这个封闭图形有15个图（1）那样大小。

图1

。

1平方米是边长为1米的正方形那样大，由于1m=100cm，所以。

。

上面所说的是我们常用的几个面积的单位，应该结合我们在画图、丈量、认识土地面积的过程中对这些单位的大小有所认识。

1. 矩形的面积。

矩形的面积等于长乘宽。

进而可以知道：边长为a的正方形面积。

如图（3），把矩形剪下一块拼到另一侧，构成一个平行四边形，对比图（3）、图（2），可知平行四边形的面积。

图2

图3

问题1：一个矩形的两条邻边长为20cm，30cm，另一个正方形的面积与这个矩形的面积相同，那么这个正方形的边长是多少厘米？（精确到0.1cm）

设正方形的边长为xcm，

则。

即这个正方形的边长为24.5cm。

2. 三角形的面积是。

从图（4）中对比三角形与矩形的面积可以看出三角形的面积是矩形面积的一半。

图4

问题2：图（5）是由一个矩形和一个三角形组成的一个窗户，计算窗户的面积，单位用表示，再把它的单位转化成。

，

。

图5

3. 梯形的面积。

问题3：如图（7），一块等腰梯形的土地，四条边长如图中数据，试求这块土地的面积。

梯形的高为。

。

图6

图7

4. 圆、扇形的面积。

半径为R的圆的面积为，圆中圆心角为n°的扇形的面积为。

问题4：一个半径为25cm，圆心角为135°的扇形与一个半径多大的圆的面积相等（精确到0.01cm）？

设圆的半径为R，则

图8

，

解得。

即半径为25cm，圆心角为135°的扇形与一个半径为15.31cm的圆的面积相等。

5. 弓形的面积。

如图（9），弓形AB的面积

图9

如图（10），弓形AB的面积。

图10

问题5：如图（11），已知圆与圆交于A、B，AB=a，四边形ABDE为圆的内接正方形，而△ABC为圆的内接正三角形。求：

（1）两圆心与间的距离；

（2）圆中阴影部分的面积。

图11

在圆中到AB的距离为，在圆中AB=a，

则，到AB的距离为，

因此两圆心间的距离为。

（2）阴影部分是由两个弓形组成，设左边的弓形面积为，右边的弓形面积为，则

阴影部分面积等于

6. 如图（12）的长方体的表面积为。

图12

7. 半径为R的球的表面积为。

图13

8. 圆柱是由上下两个底面与一个侧面组成的。

上下两个底面是两个圆，若圆的半径为r，则上下底面面积之和为。

侧面是一个矩形，矩形的长为，宽为h，面积为。

所以圆柱的表面积为。

图14

问题6：图（15）是一块从一个圆柱形生日蛋糕中切出来的一块“楔形”蛋糕。

（1）计算扇形OAD的面积；

（2）计算这块“楔形”蛋糕的表面积。

扇形面积

矩形ODCE的面积为。

曲面侧面的面积

蛋糕的表面积。

图15

9. 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，底面是一个圆，侧面是一个扇形。

圆锥的侧面积为。

圆锥的表面积为。

图16

问题7：图（17）是一个圆锥形粮仓顶盖，底面半径为4m，圆锥高为3m，要用铁皮做粮仓顶盖，需要多少平方米铁皮？（接缝忽略不计）

图中OC=3m，CB=4m，

在Rt△OBC中，

圆锥底面周长为。

答：共需用铁皮62.8。

图17

10. 求不规则图形面积近似值的方法。

在图（18）中有一个封闭的不规则的图形。可以用下面的方法去估计它的面积：

图中共有100个小正方形，设每个小正方形的面积为1，完全在图形内的小正方形共有36个，完全在图形外面的小正方形共有34个。

因此图形的面积S满足。

而曲线经过的小正方形有30个，这些小正方形中有些面积在图形内，有些在图形外，有些在图形内的面积大，也有些在图形内的面积小，这时可以认为30个小正方形的一半在图形内，因此，估计这个图形的面积为51。

（如果认为这样做不太精确，可以把曲线经过的小正方形再分成四个小正方形，再按上述方法可求得更精确的值）

图18