中点四边形的再探索
杨玉山
探索：1. 当四边形对角线互相垂直时，中点四边形为矩形；
例1. 如图1，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使EFCH为矩形，四边形ABCD应该具备的条件是（ ）
A. 一组对边平行而另一组对边不平行
B. 对角线相等
C. 对角线相互垂直
D. 对角线互相平分
解：选C。
（青岛2004年中考题）
证明：连结BD，∵点E、H分别是AB、AD的中点，∴EH是△ABD的中位线。
∴EH∥BD，
，
同理：GF∥BD，
。
∴EH∥GF，EH＝GF ∴四边形EFGH是平行四边形。
∵AC⊥BD，AC∥EF，BD∥EH，
∴EF⊥EH，即∠HEF＝90°，
∴平行四边形EFGH是矩形。
2. 当四边形对角线相等时，中点四边形为菱形；
例2. 如图2，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BD、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由。（深圳南山区2004中考题）
解：添加的条件：对角线相等
理由：连结AC、BD，
∵在△ABC中，AE＝BE，BF＝CF，
∴EF为△ABC的中位线
∴
。同理可得
又∵AC＝BD（添加条件），∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH为菱形。
说明：若添加的条件：对角线互相垂直，那么四边形为矩形；若添加的条件：对角线互相垂直且相等，则四边形为正方形。
例3. 如图3，四边形ABCD中，AC＝6，BD＝8，且AC⊥BD。顺次连结四边形ABCD各边中点，得到四边形
；再顺次连结四边形各边中点，得到四边形
……如此进行下去得到四边形
。
（贵阳实验区2004中考题）
（1）证明：四边形是矩形；
（2）写出四边形和四边形的面积；
（3）写出四边形的面积；
（4）求四边形
的周长。
（1）证明：∵点
、
分别是AB、AD的中点，
∴
是△ABD的中位线
∴
，同理：
∴
∴四边形是平行四边形。
∵AC⊥BD，
，
∴
，即
。
∴平行四边形是矩形
（2）连结AC，∵顺次连结四边形ABCD的各边中点得到四边形
∴
则
同理可得：
，
∴四边形的面积
四边形ABCD的面积
∴四边形的面积四边形的面积
；
（3）依次类推得：四边形的面积为
；
（4）由（1）得矩形的长为4，宽为3；∵矩形~矩形；
∴可设矩形的长为4x，宽为3x，则
解得
∴矩形的周长
说明：有关相似多边形的知识将在今后学习。
对例3的再探索：
（1）①当n为奇数次时，四边形的形状是矩形；
②当为偶数次时，四边形的形状是菱形。
（2）四边形的面积为
原四边形ABCD的面积
；
由例3得矩形的长为4，宽为3；矩形的周长
∵矩形
~矩形；
∴可设矩形的长为4x，宽为3x，则
解得：
；∴矩形的长
，宽
∴矩形的周长
由上可知：矩形的周长
同理可得：矩形
的周长
矩形
的周长
……因此得：
（3）当n为奇数次时，四边形的形状是矩形；其周长
的周长
因矩形的长为4，宽为3，由勾股定理得对角线
∴菱形的边长
则菱形的周长
由矩形的长为2，宽为
，那么由勾股定理得对角线
∴菱形
的边长
则菱形的周长
菱形
的周长
菱形
的周长
……
②∴当n为偶数次时，四边形的形状是菱形；其周长
的周长
例4. O点是△ABC所在平面内一动点，连结OB、OC，并把AB、OB、OC、CA的中点D、E、F、G依次连结起来，设DEFG能构成四边形。
（1）如图当O点在△ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形。
（2）当O点移动到△ABC外时，（1）的结论是否成立？画出图形并说明理由。
（3）若四边形DEFG为矩形，则O点所在位置应满足什么条件，试说明理由。
证明：（1）（2）略，请同学们根据右图自己写出证明过程。（3）若四边形DEFG为矩形，则O点所在位置应在过A点且垂直BC的直线上（A点除外）。
理由：如图过A点作BC的垂线MN交BC于K点。
设O点是MN上任意一点（A点除外），连结OB、OC，由（1）得四边形DEFG是平行四边形。
在△ABO中，DE∥OA，在△ABC中，DG∥BC，AK⊥BC
∴DE⊥DG，即∠EDG＝90° ∴平行四边形DEFG是矩形。
例5. 在四边形ABCD中，E为边AB上一点，△ADE和△BCE是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，求证：四边形PQMN为菱形。
证明：连结AC、BD。
∵△DAE和△CEB是等边三角形
∴△AEC≌△DEB（SAS）∴AC＝BD
又∵P、Q、M、N是四边形各边中点
∴
（三角形中位线定理）
∴PQ＝QM＝MN＝NP，∴四边形PQMN为菱形。
例6. 如果等腰梯形的两条对角线垂直，那么它的中位线的长和高相等
已知：在等腰梯形ABCD中，MN是中位线，AE⊥BC。
求证：MN＝AE
证明：取BC、AD的中点G、H，连结MG、GN、NH、HM
∴
（三角形的中位线定理）∴四边形MGNH是平行四边形
又∵
∴MG＝MH，∴MGNH是菱形
又AC⊥BD，∴∠GMH＝90°
∴菱形MGNH是正方形，MN＝GH，
∴AE＝MN
说明：以上的练习题中，有中点，可考虑利用中位线定理，构造中点四边形。然后运用中点四边形是平行四边形且面积是原四边形面积的一半的性质进行探索解题。