山东省济宁市2005-2006学年度高三第二次摸底考试
数学试题（理科）
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 复数
在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知m，n∈R，则“m≠0”是“mn≠0”的（ ）
A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重（kg）数据进行整理后分成五组，并绘制频率分布直方图（如图所示），根据一般标准，高三男生体重超过65kg属于偏胖，低于55kg属于偏瘦。已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.25、0.20、0.10、0.05，第二小组的频数为400，则该校高三年级的男生总数和体重正常的概率分别为（
）
A. 1000，0.50 B. 1000，0.60 C. 800，0.60 D. 800，0.50
4. 同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线
对称；③在区间［
］上是增函数”的一个函数是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
5. 不等式
的解集为（ ）
A. {－1} B. ［－1，1］ C. 
D. 
6. 定义在R上的偶函数
满足
，且在［－3，－2］上是减函数，又α、β是锐角三角形的两内角，则（
）
A. 
B. 
C. 
D. 
7. 设两条平行直线的方程分别为
，已知a、b是关于x的方程
的两个实数根，且
，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为（
）
A. 
B. 
C. 
D. 
8. △ABC的高为AD，BD=a，CD=b且a<b，将△ABC沿AD折成大小为θ的二面角B�AD�C，若
，则三棱锥A�BCD的侧面△ABC是（
）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 形状与a、b的大小有关
9. 设
为函数
的反函数，若
则
的值为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
10. 给定实数x，定义［x］为不大于x的最大整数（如［2.5］＝2，［－1.8］＝－2），则下列结论不正确的是（ ）
A. 
B. 
C. 
是周期函数 D. 是偶函数
11. △ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
，则非零实数m=（ ）
A. 
B. 2 C. 1 D. 
12. 电子计算机计数使用二进制（只有两个数码0和1，且逢二进一），它与十进制的换算关系如下表所示，那么当二进制为6位数时，所表示的十进制中最大和最小的数分别为（
）
|
十进制数 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
二进制数 |
0 |
1 |
10 |
11 |
100 |
101 |
110 |
111 |
1000 |
1001 |
1010 |
A. 64，32 B. 64，31 C. 63，32 D. 63，31
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13. 若指数函数
的部分对应值如下表：
|
|
0 |
2 |
|
|
1 |
1.69 |
则不等式
的解集为_____________。
14. 设
，则
___________。
15. 在半径为R的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回原处，则经过的最短路程是__________。
16. 已知点P（－1，－4）在双曲线
的渐近线上，过点P且方向向量为
（－2，4）的光线，经过直线y=2反射后，通过双曲线的左焦点，则此双曲线的实轴长为___________。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分12分）
在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，
，
，且
（I）求角B的大小；
（II）若
，求a+c的最大值。
18. （本小题满分12分）
学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人，设
为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且
。
（I）求文娱队的人数；
（II）写出的概率分布列，并计算E。
19. （本小题满分12分）
已知函数
在x=α处取得极小值，x=β处取得极大值，且
。
（I）求实数a的值；
（II）求函数的极大值与极小值的和。
20. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P�ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PF⊥平面ABCD，垂足F在AD上，且
，E是BC的中点，四面体P�BCF的体积为
。
（I）求异面直线EF与PC所成的角；
（II）求点D到平面PBF的距离。
21. （本小题满分12分）
设向量
，定义运算“⊙”：
⊙
，若点P（
）是曲线
上的动点，
，动点Q满足
⊙
（O为坐标原点）
（I）求动点Q的轨迹C的方程；
（II）设直线l过点F（2，0）且与轨迹C交于y轴两侧的两点A、B，若存在直线l，使得AB中点M，在直线x=m(m<1)上的射影S满足
，求实数m的取值范围。
22. （本小题满分14分）
已知数列
的前n项和为
，若任意n≥2且
都有
总成等差数列。
（I）证明数列是等比数列；
（II）若
，
（1）求数列的通项
；
（2）设
，且
求实数t的取值范围。
济宁市2005-2006学年度高三第二次摸底考试
数学（理科）试题参考答案
一、选择题：每小题5分，共60分。
1. C 2. B 3. B 4. C 5. D
6. A 7. D 8. C 9. A 10. D
11. C 12. C
二、填空题：每小题4分，共16分。
13. 
14. 1
15. 
16. 
三、解答题
17. 解：（I）
由正弦定理得
2分
4分
（II）
。由余弦定理得
8分
10分
∴当且仅当a=c时，
12分
18. 解：设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有（7－x）人，那么只会一项的人数是（7－2x）人 1分
（I）
3分
即
5分
∴x=2
故文娱队共有5人 6分
（II）
8分
|
|
0 |
1 |
2 |
|
P |
|
|
|
10分
12分
19. 解：（I）
2分
由
，得x=1或x=－2a 3分
①若
，则
此时，
，不存在极值 4分
②若
，则
，得
或
（舍） 6分
当时，
此时
时，y”<0
（－1，1）时，y”>0
（1，+∞）时，y”<0满足题设条件。
综合①②， 8分
（II）由（I）知
，
11分
12分
20. 解：（I）由已知
∴PF=4
2分
如图所示，以F点为原点建立空间直角坐标系o�xyz，则B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4），故E（1，1，0） 3分
（1，1，0），
=（0，2，－4） 4分
∴异面直线EF与PC所成的角为
6分
（II）平面PBF的单位法向量
7分
10分
∴点D到平面PBF的距离为
12分
解法二：（I）由已知
∴PF=4
2分
在平面ABCD内，过C点作CH//EF，交AD于H，连结PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线EF与PC所成的角。 4分
在△PCH中，
由余弦定理得
∴异面直线EF与PC所成的角为 6分
（II）∵PF⊥平面ABCD，
平面PBF，
∴平面BPF⊥平面ABCD 8分
在平面ABCD内，过D作DK⊥BF，交BF延长线于K，则DK⊥平面PBF。
∴DK的长就是点D到平面PBF的距离
10分
在△DFK中，
∴点D到平面PBF的距离为
12分
21. 解（I）设Q（x，y），由已知得（x，y）
2分
即
3分
代入
，得点Q的轨迹方程为
5分
（II）设A（
），B（
）
①若l的斜率不存在，则
6分
②若l的斜率存在，设为k，由于l与双曲线右支交于两点
结合图像知
7分
l的方程
与联立，得
结合①②知，
（
时取等号） 8分
因F（2，0）为双曲线的右焦点，由双曲线的第二定义知
9分
又