德州市高中三年级教学质量检测
数学试题（文科）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 
的值是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
2. D是△ABC的边AB上靠近A点的三等分点，则向量
等于（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
3. 设直线
的倾斜角为α，且
，则a，b满足（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
4. 已知数列
满足
，且
，则
等于（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
5. 在正四面体
中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（
）
A. 平面PDF⊥平面ABC B. DF⊥平面PAE
C. BC//平面PDF D. 平面PAE⊥平面ABC
6. 若圆
上只有一个点到直线
的距离为
，则直线m的倾斜角为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
7. 为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
B. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
C. 向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）D. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
8. 已知
的夹角为，若
，D为△ABC中BC边的中点，则
的长度为（ ）
A. 
B. 
C. 7 D. 8
9. 已知数列
，数列
为等比数列，则
等于（ ）
A. 35 B. 67 C. 76 D. 85
10. 木星的体积约是地球体积的
倍，则它的表面积约是地球表面积的（ ）
A. 60倍 B. 
倍 C. 120倍 D. 
倍
11. 下表给出一个“直角三角形数阵”
……
满足每一列成等差数列，从第三行起每一行成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为
则
等于（ ）
A. 
B. 
C. D. 1
12. 已知函数
的部分图象如图所示，记
，则
的值为（ ）
A. 4 B. 
C. 
D. 
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每题4分，共16分）
13. 已知
，则
_________。
14. 在等差数列中，
，若
最小，则n的值为_________。
15. △ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，若
，则∠C=_________。
16. 已知A表示点，a、b、c表示直线，M、N表示平面，给出以下命题：
①a⊥M，a//N，则M⊥N
②a⊥M，a⊥b，c⊥b，则b//M，c//a
③a⊥M，
M，
，则b//M
④
，c为b在M内的射影，a⊥b，则a⊥c
其中命题成立的是_________。
三、解答题（本大题共6个小题，满分74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17. （本小题满分12分）
已知
是同一平面内的三个向量，其中
=（1，2）。
（1）若
，且
，求
的坐标；
（2）若
（1，m）（m<0）且
与
垂直，求
的夹角θ。
18. （本小题满分12分）
已知函数
（1）求函数
的最小正周期；
（2）若函数在
上的最大值与最小值之和为
，求实数a的值。
19. （本小题满分12分）
（1）圆C：
，不过原点的直线l与圆C相切，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
（2）求圆心在直线
上，并且与直线l：
相切于点P（3，－2）的圆的方程。
20. （本题满分12分）
如图，正三棱柱
中，E是AC中点。
（1）求证：平面
平面
；
（2）求证：
平面
。
21. （本小题满分12分）某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花。若
，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2。
（1）用a，θ表示S1和S2；
（2）当a固定，θ变化时，求
取最小值时的角θ。
22. （本小题满分14分）
设二次函数
，当
时，的函数值的所有整数值的个数为
。
（1）求的表达式；
（2）设
，
，求
；
（3）设
。证明：
。
德州市高中三年级教学质量检测
数学试题答案（文科）
一、选择题
1. D 2. B 3. C 4. A 5. A 6. C
7. D 8. A 9. B 10. C 11. C 12. C
二、填空题
13. 14. 35 15. 16. ①③④
三、解答题
17. （1）
，∴存在实数
使
又
解得
（2，4）或=（―2，―4） （6分）
（2）
与垂直，
，即
解得
（∵m<0，∴正根舍） （9分）
（12分）
18. 解：（1）
（3分）
（5分）
∴函数的最小正周期
（6分）
（2）
∴当
，即
时
（8分）
当
，即
时，
（10分）
由题意，有
（12分）
19. 解：（1）圆C的方程可化为：
即圆心坐标（－1，2），半径
（2分）
根据题意可设直线l的方程
，由点到直线的距离公式可得
解之得
所以直线l的方程为
（6分）
（2）设圆的方程为
则
（9分）
解之得
所以所求圆的方程为
（12分）
20. 解：（1）证明：∵是正三棱柱，
平面ABC，
∵△ABC是正三角形，E是AC中点，
平面
又
平面
平面
（6分）
（2）证明：连
是正三棱柱 
是矩形，D是
的中点。
又∵E是AC的中点，
∵DE
平面
平面 
面 （12分）
21. （1）
（2分）
设正方形边长为x 则
（4分）
（6分）
（2）当a固定，θ变化时，
（8分）
令
，则
令
函数
在
是减函数 （10分）
当t=1时，取最小值，此时
（12分）
22. 解：（1）当
时
函数的值随x的增大而增大
则的值域为
（5分）
（2）
（3）由
，得
①
①×，得
②
①－②，得
（14分）