2006年河南省示范性普通高中毕业班教学质量调研考试

文科数学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

第I卷（选择题 共60分）

［参考公式］

如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式

如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径

如果事件A在一次试验中发生的概率是 球的体积公式

P，那么n次独立重复试验中恰好发生k

次的概率 其中R表示球的半径

一、选择题：

（1）若集合，，则＝

A. B.

C. D.

（2）已知等差数列，公差为，且，若，则k＝

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

（3）一个单位职工150人，其中有业务人员110人，管理人员15人，后勤服务人员25人。为了了解离职工的某种情况，要从中抽取一个容量为30的样本，则应抽取管理人员

A. 15人 B. 5人 C. 3人 D. 2人

（4）设a≠0为常数，已知和这两个展开式中的系数相等，则a的值为

A. B. C. D.

（5）曲线在点P处的切线斜率为k，当k＝3时的P点坐标为

A. （－2，－8） B. （－1，－1）（1，1）

C. （2，8） D. （）

（6）函数的反函数的解析式为

A. B.

C. D.

（7）为了得到函数的图象，可以将函数的图象

A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度

C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度

（8）函数的最大值是

A. B. C. D.

（9）在正方体ABCD�A₁B₁C₁D₁中，O为AC与BD的交点，则C₁O与A₁D所成的角为

A. 60° B. 90° C. D.

（10）设椭圆、双曲线、抛物线（其中）的离心率分别为，则下列结论正确的是

① ②

③ ④ ⑤

A. ①②⑤ B. ①② C. ②④ D. ③⑤

（11）点O是△ABC所在平面内一点，满足＝，则点O是△ABC的

A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心

（12）已知不等式成立，则实数x的取值范围是

A. （0，） B.

C. D.

第II卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。

（13）若一个正方体的顶点都在同一球面上，则球与该正方体的体积之比为________。

（14）已知x，y满足约束条件，则的最小值是________。

（15）在△ABC中，BC＝1，，当△ABC的面积等于时，tanC＝________。

（16）对某种产品的6件不同正品和4件不同次品，一一进行测试，到区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试被全部发现，则这样的测试方法有________种。（以数字作答）

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

已知函数的定义域为R。

（I）当时，求的单调增区间；

（II）当，且，当为何值时，为偶函数。

（18）（本小题满分12分）

一种电路控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入了一箱，为了找出该箱中的二等品，我们对该箱中的产品逐一取出进行测试。

（I）求前两次取出的都是二等品的概率；

（II）求第二次取出的是二等品的概率。

（19）（本小题满分12分）

如图，在直三棱锥ABC�A₁B₁C₁中，∠ACB＝90°，BC＝CC₁＝a，AC＝2a。

（I）求证：AB₁⊥BC₁；

（II）求二面角B�AB₁�C的正切值；

（III）求点A₁到平面AB₁C的距离。

（20）（本小题满分12分）

设函数，其中。

（I）求a的范围，使在上是增函数；

（II）函数在上能否是增函数？为什么？

（21）（本小题满分12分）

已知等差数列，公差大于0，且的两根，数列前n项和为，且。

（I）写出数列的通项公式；

（II）记，试比较的大小，并求数列的前n项和。

（22）（本小题满分14分）

已知、D三点不在同一直线上，且，，。

（I）求点E轨迹方程；

（II）过F₁作直线以F₁、F₂为焦点的椭圆C于P、Q两点，线段PQ的中点到y轴的距离为，且直线PQ与点E的轨迹相切，求该椭圆的方程；

（III）若该圆C的一个顶点T（0，－2），试问能否找到一条斜率为k（k≠0）的直线l，使l与椭圆C交于不同的两点M，N满足。

【试题答案】

2006年河南省示范性普通高中毕业班教学质量调研考试

文科数学参考答案及评分标准

一、选择题

（1）C （2）B （3）C （4）A （5）B

（6）B （7）B （8）D （9）D （10）A

（11）B （12）D

二、填空题

（13） （14）－6 （15） （16）576

三、解答题

（17）（本小题满分12分）

解：（I）当时，。

依条件有：

∴

∴的单调增区间为 6分

（II）设

∴

∴

∴

依条件令，即时，为偶函数。 12分

（18）（本小题满分12分）

解：（I）四件产品逐一取出排成一列共有种方法，前两次取出的产品都是二等品的共有种方法，∴前两次取出的产品都是二等品的概率为； 6分

（II）四件产品逐一取出排成一列共有种方法，第二次取出的产品是二等品的共有种方法，∴第二次取出的产品是二等品的概率为； 12分

（19）（本小题满分12分）

（I）证明：∵ABC－A₁B₁C₁是直三棱柱，

∴CC₁⊥平面ABC，∴AC⊥CC₁。

∵AC⊥BC，∴AC⊥平面B₁BCC₁。

∴B₁C是AB₁在平面B₁BCC₁上的射影。

∵BC＝CC₁，∴四边形B₁BCC₁是正方形。

∴BC₁⊥B₁C。根据三垂线定理得

AB₁⊥BC₁ 4分

（II）解：设，作OP⊥AB₁于点P

连结BP，∵BO⊥AC，且BO⊥B₁C，

∴BO⊥平面AB₁C

∴OP是BP在平面AB₁C上的射影。

根据三垂线定理得AB₁⊥BP。

∴∠OPB是二面角B－AB₁－C的平面角

∵

在Rt△POB中，

∴二面角B－AB₁－C的正切值为 8分

（III）解：解法1：∵A₁C₁∥AC，AC平面AB₁C，

∴A₁C₁∥平面AB₁C。

∴点A₁到平面AB₁C的距离与点C₁到平面AB₁C的距离相等。

∵BC₁⊥平面AB₁C，

∴线段C₁O的长度为点A₁到平面AB₁C的距离

∴点A₁到平面AB₁C的距离为a 12分

解法2：连结A₁C，有设点A₁到平面AB₁C的距离为h。

∵B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，∴·h＝，

又

∴，

∴点A₁到平面AB₁C的距离为 12分

（20）（本小题满分12分）

解：（I）若在[0，）上是增函数，则时

恒成立

即恒成立

∴

故a的取值范围是 6分

（II）若上是增函数

则恒成立

即对所有的均成立

得，与题设矛盾。

∴上不是增函数 12分

（21）（本小题满分12分）

解：（I）由题意得，

所以，又因为等差数列的公差大于零，

∴

。

∴

由

当时，

∴

∴ 6分

（II）∵

∴

∴。其中等号当且仅当n＝1时成立。

令的前n项和为，则

，①

②

两式相减，得

解得 12分

（22）（本小题满分14分）

解：（I）设E（x，y），则

由已知得

∴

即为点E的轨迹方程。 4分

（II）设椭圆C的方程为，过F₁的直线为

，P、Q在椭圆C上，

∴

两式相减，得 ①

而，

代入①得 ②

由与圆相切，得代入②得，

而椭圆C的方程为 9分

（III）假设存在直线，设MN的中点为

由|TM|＝|TN|，∴TP为线段MN的中垂线，其方程为

又设

两式相减并由

整理得：