河南省河南大学附中2006年高中毕业班第一次质量预测试卷

文科数学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么

如果事件A、B相互独立，那么

如果事件A在1次实验中发生的概率是P，那么n次独立重复实验中恰好发生k次的概率

球的体积公式

其中R表示球的半径

柱体（棱柱、圆柱）的体积公式

其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高。

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合，则集合A的真子集的个数为（ ）

A. 3个 B. 6个 C. 7个 D. 8个

2. 直线被圆所截，截得的弦长为（ ）

A. B. 2 C. D. 1

3. 设指数函数，则下列等式不正确的是（ ）

A. B.

C. D.

4. 已知等差数列的前n项和为等于（ ）

A. 18 B. 36 C. 54 D. 72

5. 6名同学排成两排，每排3人，其中甲排在前排的概率是（ ）

A. B. C. D.

6. 在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD=1，则二面角B－AC－D的余弦值为（ ）

A. B. C. D.

7. 设，则a的值为（ ）

A. 2 B. 1 C. 0 D. －1

8. 给出两个命题：的充要条件是x为正实数；q:存在反函数的函数一定是单调函数，则下列复合命题是真命题的为（ ）

A. p且q B. p或q C. D.

9. 已知O、A、B三点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（0，3），点P在线段AB上，且，则的最大值为（ ）

A. 3 B. 6 C. 9 D. 12

10. sin1，cos1，tan1的大小关系是（ ）

A. B.

C. D.

11. 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）

A. 有且仅有一条 B. 有且仅有两条

C. 有无穷多条 D. 不存在

12. 已知x,y满足条件，则的最大值为（ ）

A. B. C. 3 D. 2

第II卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中的横线上）

13. 展开式中的常数项是___________。

14. 一个单位有职工360人，其中业务人员276人，管理人员36人，后勤人员48人。为了了解职工的住房情况，要从中抽取一个容量为30的样本，若采用分层抽样的抽样方法，则应从后勤人员中抽取___________人。

15. 一个正方体的全面积为，它的顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是___________。

16. 对任意的函数f(x)，g(x)，在公共定义域内，规定

，则的最大值为___________。

三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. （本小题满分12分）

已知函数。

（I）求函数f(x)的最小正周期；

（II）若函数f(x)在上的最大值与最小值之和为，求实数a的值。

18. （本小题满分12分）

袋中装有形状、大小完全相同的10个球，其中6个黑球，4个白球，规定在抽取这些球的时候，谁也无法看到球的颜色，首先由甲取出三个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出4个球，规定取得白球多者获胜。试求：

（I）甲获胜的概率；

（II）甲，乙成平局的概率。

19. （本小题满分12分）

如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，BC=2。

（I）求证：平面PDC⊥平面PAD；

（II）若E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦值；

（III）在BC边上是否存在一点G，使得D点到平面PAG的距离为1，若存在，求出BG的值；若不存在，请说明理由。

20. （本小题满分12分）

已知等差数列的首项，且公差d>0，其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列的第二项、第三项、第四项。

（I）求数列的通项公式；

（II）设数列成立，求

的值。

21. （本小题满分12分）

已知函数上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程的一个根为2。

（I）求c的值；

（II）求证：f(1)≥2。

22. （本小题满分14分）

设x、y∈R，在直角坐标平面内，a=（x，y+2），b=(x，y－2)，且|a|＋|b|=8。

（I）求点M（x,y）的轨迹C的方程；

（II）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，若以AB为直径的圆过坐标原点，求直线l的方程。

2006年高中毕业班第一次质量预测试卷

数学（文史类）参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

1. C 2. A 3. B 4. D 5. B 6. A

7. D 8. D 9. C 10. A 11. B 12. C

二、填空题（每小题4分，共16分）

13. 210 14. 4 15. 16. 1

三、解答题

17. 解：（I）∵

……………………4分

∴函数f(x)的最小正周期T=2π ……………………6分

（II）∵

∴当 ……9分

当

由题意，有

∴ ……………………………………12分

18. 解：甲取得1个，2个，3个白球时有可能获胜，当甲，乙两人各取1个白球，或各取2个白球时成平局。 ……………………………………4分

（I）甲取得3个全是白球，当然必胜，其概率为；甲取得2个白球获胜是在乙取得1白3黑或4个均为黑球的情况下发生的，其概率为，甲取1个白球获胜是在乙取得4个黑球的情况下发生的，其概率为，由于这三个事件互斥，所以甲获胜的概率是，…………8分

（II）对于平局的情况，只有甲取1白2黑而乙取1白3黑时以及甲取2白1黑而乙取2白2黑时才能发生，前者的概率为，后者的概率为，由于这二个事件互斥，所以平局的概率为。 ………………………………12分

19. 解：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），E（0，1，），P（0，0，1）。

∴

（I）

……………………………………5分

（II）∵

∴所求角的余弦值为 …………………………………………9分

（III）假设BC边上存在一点G满足题设条件，令BG=x

则G（1，x，0），作DQ⊥AG，则DQ⊥平面PAG，即DQ=1

∵

∴

故存在点G，当BG=时，使点D到平面PAG的距离为1。 ………………12分

20. 解：（I）由题意得：

解得：d=2，所以 ……………………4分

易得 ……………………6分

（II）由题意得：

所以………………………………10分

所以由错项相消法得 …………12分

21. 解：（I） ………………………………2分

∵f(x)在（）是增函数，在[0，2]上是减函数

∴当x=0时，f(x)取得极大值

∴ ……………………………………4分

（II）∵

而c=0，∴ ………………………………6分

方程

∵f(x)在[0，2]上是减函数

∴ …………………………10分

∴ …………12分

22. 解：（I）由题意得： ………………2分

即点M（x，y）到两定点F₁（0，－2），F₂（0，2）的距离之和为定值且，所以点M（x，y）的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆，a=4，c=2，所以。

所求椭圆方程为： …………………………7分

（II）过点（0，3）作直线l，当l与x轴垂直时，AB过坐标原点，这与以AB为直径的圆过坐标原点矛盾。

∴l的斜率存在

设l：

由 ………………9分

恒成立

且 ………………………………11分

由条件AB为直径，则OA⊥OB，即

……………………………………12分

即

∴

解得：

∴l： ……………………………………14分