河南省开封市2006届高三年级第三次质量检测

数学试题（文科）

本试卷分第I卷（选择题）第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么

如果事件A、B相互独立，那么

球的表面积公式 其中R表示球的半径

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

球的体积公式 其中R表示球的半径

第I卷

一. 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合，那么等于（ ）

A. B.

C. D.

2. 函数的定义域为（ ）

A. （-1，0） B. （-1，0）∪（0，2） C. （-1，2） D. （0，2）

3. 已知a、b、c为直径，α、β、γ为平面，则下面命题中正确的是（ ）

A. 若，则

B. 若则

C. 若则

D. 若则

4. 已知p：关于x的不等式的解集为R，q：为R上的减函数，则p是q的（ ）

A. 充分条件 B. 充要条件

C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要

5. 若，则的大小关系是（ ）

A. B.

C. D.

6. 已知向量且则实数为（ ）

A. B. C. D.

7. 函数的图象过原点，且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，则图象的顶点在（ ）

A. 第I象限 B. 第II象限

C. 第III象限 D. 第IV象限

8. 若直线始终平分圆的周长，则的最小值是（ ）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

9. 在△ABC中，已知，则的值为（ ）

A. B. C. 或 D.

10. 已知A、B、C是半径为1的球面上的三个点，且任意两点间的球面距离均为，则球心到平面ABC的距离为（ ）

A. 1 B. C. D.

11. 已知双曲线，（m，n≠0）的离心率为2，则的值为（ ）

A. 3或 B. 3或 C. D. 3

12. 关于函数有下列命题：

①函数f(x)的图象关于y轴对称；

②函数f(x)有极小值为；

③当x>0时，f(x)为增函数，当x<0时，f(x)为减函数；

④函数f(x)在和上为增函数；

⑤函数f(x)既无最大值，也无最小值。

以上命题正确的个数（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

第II卷

二. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上）

13. 若非负实数x，y满足则的最大值是_________。

14. 等比数列中，。则_________。

15. 展开式中的常数项是_________。

16. 3个学生从周一到周六值日，每天1人，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，则共有_________种不同的排法。

三. 解答题（本大题有6个小题；共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. （本小题满分12分）

某车间在三天内，每天生产10件某种产品，其中第一天、第二天分别生产出了1件、2件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过。

（I）求第一天产品通过检查的概率；

（II）求前两天至少有一天产品检查不能通过的概率。

18. （本小题满分12分）

已知函数的图象经过点A（0，1），B（，1），当时，的最大值为。

（1）求的解析式。

（2）由的图象按向量平移得到一个偶函数的图象，求出一个符合条件的向量。

19. （本小题满分12分）

在直三棱柱中，，M是AA₁的中点，N是BC₁的中点。

（I）求证：MN//平面A₁B₁C₁；

（II）求二面角的正切值。

20. （本小题满分12分）

函数是定义在上的偶函数，当时，。（）。

（I）求的解析式；

（II）求m的值，使得时，有最大值。

21. （本小题满分12分）

椭圆的中心是坐标原点O，它的短轴长为，对应于焦点F（c，0）（c>0）的准线与x轴相交于点A，，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。

（I）求椭圆的方程；

（II）若。求直线PQ的方程。

22. （本小题满分14分）

已知数列，点在直线上。

（I）求数列的通项公式；

（II）函数，求函数f（n）的最小值；

（III）设，表示数列的前n项和。试问：是否存在关于n的整式g（n），使得对一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，请说明理由。

　

　

开封市2006届高三年级第三次质量检测

数学试题（文科）参考答案

一. 选择题：

1. B 2. A 3. C 4. D 5. A 6. B

7. A 8. B 9. B 10. C 11. A 12. C

二. 填空题：

13. 5 14. 15. 15 16. 42

三. 解答题：

17. 解：（1）设第一天通过检查的概率为

6分

（2）两天至少有一天检查不能通过的对立事件是两天都能被通过

8分

12分

18. 解：（1）由条件得 2分

4分

又

即 6分

即

8分

（2）由（1）得 10分

∴按向量平移可以得到

是符合条件的一个向量 12分

19. 解：（1）设D是B₁C₁中点，连ND

即 又∵

2分

则为平行四边形 4分

∴MN//A₁D 即MN//平面A₁B₁C₁ 6分

（2）过B作BH⊥C₁M于H ∵BC⊥面CAA₁C₁

由三垂线定理

为二面角的补角 8分

可求得 10分

∴二面角的正切值为 12分

20. 解：（1）设 则

2分

∵为偶函数

即 4分

（2）

1°当m<-2时，，即在单调递增，这时

解得（舍） 6分

2°时，令

解得

			（）
	+	0	－
		极大值

8分

∴f(x)在处取得最大值

解得 10分

3°当时，

在上单调递减，在上无最大值。

综上存在，使在上有最大值为。

21. 解：（I）设椭圆方程

由已知得

解得 2分

∴椭圆方程为 4分

（II）设PQ：y=k（x-3）（k一定存在）

消y得：

5分

解 6分

设

7分

， 8分

代入得，从而 10分

即或 12分

22. 解：（1）∵点P（）满足

即 2分

故为首项为1，公差为1的等差数列。