河南省开封市2006届高三年级第三次质量检测
数学试题（理科）
本试卷分第I卷（选择题）第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
如果事件A、B相互独立，那么
球的表面积公式
其中R表示球的半径
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 
球的体积公式
其中R表示球的半径
第I卷
一.
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合
，那么
等于（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
2. 复数
的值等于（ ）
A. -1 B. 1 C. 
D. 
3. 已知a、b、c为直线，α、β、γ为平面，则下面命题中正确的是（ ）
A. 若
，
则
B. 若
则
C. 若
则
D. 若
则
4. 已知p：关于x的不等式
的解集为R，q：
为R上的减函数，则p是q的（ ）
A. 充分条件 B. 充要条件
C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要
5. 若
，则
的大小关系是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
6. 已知向量
且
则实数
为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
7. 函数
的图象过原点，且它的导函数
的图象是如图所示的一条直线，则图象的顶点在（ ）
A. 第I象限 B. 第II象限 C. 第III象限 D. 第IV象限
8. 若直线
始终平分圆
的周长，则
的最小值是（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
9. 在△ABC中，已知
，则
的值为（ ）
A. 
B. 
C. 或 D. 
10. 已知A、B、C是半径为1的球面上的三个点，且任意两点间的球面距离均为
，则球心到平面ABC的距离为（ ）
A. 1 B. 
C. 
D. 
11. 已知双曲线
，（
）的左、右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点，点A在双曲线右支上，点B在双曲线左准线上，
，则双曲线的离心率e为（ ）
A.2 B. 
C. 3 D.
12. 关于函数
有下列命题：
①函数f(x)的图象关于y轴对称；
②函数f(x)有极小值为
；
③当x>0时，f(x)为增函数，当x<0时，f(x)为减函数；
④函数f(x)在
和
上为增函数；
⑤函数f(x)既无最大值，也无最小值。
以上命题正确的个数（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第II卷
二.
填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上）
13. 若非负实数x，y满足
则
的最大值是_________。
14. 数列
中，
是前n项和，若
。
则
_______________。
15. 若
，则
_________。
16. 3个学生从周一到周六值日，每天1人，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，则共有_________种不同的排法。
三.
解答题（本大题有6个小题；共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分12分）
某车间在三天内，每天生产10件某种产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件、2件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过。
（I）求第二天检查产品不能通过的概率；
（II）若厂内对车间生产的产品采用记分制：产品通过检查记2分，不能通过检查记-1分，求该车间这两天内得分的数学期望。
18. （本小题满分12分）
已知函数
的图象经过点A（0，1），B（，1），当
时，
的最大值为
。
（1）求的解析式。
（2）由的图象按向量
平移得到一个奇函数
的图象，求出一个符合条件的向量。
19. （本小题满分12分）
在直三棱柱
中，
，M是AA1的中点，N是BC1的中点。
（I）求证：MN∥平面A1B1C1；
（II）求二面角
的正切值。
（III）求点B1到平面BMC的距离。
20. （本小题满分12分）
设函数
。
（I）当
时，求的单调递增区间；
（II）求a的值，使的极小值为0。
21. （本小题满分12分）
椭圆的中心是坐标原点O，它的短轴长为
，对应于焦点F（c，0）（c>0）的准线
与x轴相交于点A，
，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。
（I）求椭圆的方程；
（II）若
。求直线PQ的方程；
（III）设
，过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明
。
22. （本小题满分14分）
设函数
的图象上有两点
，
，若
，且点P的横坐标为
。
（I）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；
（II）若
，求；
（III）记
为数列
的前n项和，若
对一切
都成立，试求a的取值范围。
开封市2006届高三年级第三次质量检测
数学试题（理科）参考答案
一.
选择题：
1. B 2. A 3. C 4. D 5. A 6. B
7. A 8. B 9. B 10. C 11. A 12. C
二.
填空题：
13. 5 14. 
15. -26 16. 42
三.
解答题：
17. 解：（1）设第二天不能通过的概率为P1
4分
（2）
6分
8分
10分
12分
18. 解：（1）由条件得
1分
3分
又
即
4分
当
时，
5分
当
时，
6分
当
时，
与
矛盾 7分
8分
（2）由（1）得
10分
∴按向量
平移可以得到
的图象
是符合条件的一个向量 12分
19. 解：（1）设D是B1C1中点，连ND
即
又∵
则
为平行四边形 2分
∴MN∥A1D，即MN∥平面A1B1C1
4分
（2）过B作BH⊥C1M于H
∵BC⊥面CAA1C1
由三垂线定理
为二面角的补角 6分
可求得
8分
∴二面角
的正切值为
9分
（3）
面BMC，过C1作C1G⊥CM
面
面BCM 11分
故
到平面BMC的距离是
12分
20. 解：（1）
2分
令
解得
在（0，
）上单调递增。 4分
（2）由（1）得
令
得解，
或
①当
时，即时，
无极值 6分
②当
时，即时
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（-∞，0） |
0 |
（0， |
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（ |
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－ |
0 |
+ |
0 |
－ |
|
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|
极小值 |
|
极大值 |
|
）
此时应有
，解得
9分
③当
时，即
时
|
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|
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（ |
0 |
（0，+∞） |
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－ |
0 |
+ |
0 |
－ |
|
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