2005年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题卷（文史类）
数学试题（文史类）分选择题和非选择题两部分。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2. 答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5. 考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概
率
第一部分（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 圆
关于原点（0，0）对称的圆的方程为 （
）
A. 
B. 
C. 
D. 
2. 
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
3. 若函数
是定义在R上的偶函数，在
上是减函数，且
，则使得
的取值范围是 （ ）
A. 
B. 
C. 
D. （－2，2）
4. 设向量a=（－1，2），b=（2，－1），则（a·b）（a+b）等于
（ ）
A. （1，1） B. （－4，－4） C. －4 D. （－2，－2）
5. 不等式组
的解集为 （ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
6. 已知
均为锐角，若
的 （ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 对于不重合的两个平面
，给定下列条件：
①存在平面
，使得α、β都垂直于；
②存在平面，使得α、β都平行于；
③存在直线
，直线
，使得
；
④存在异面直线l、m，使得
其中，可以判定α与β平行的条件有
（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 若
展开式中含
的项的系数等于含x的项的系数的8倍，则n等于
（ ）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
9. 若动点
在曲线
上变化，则
的最大值为 （ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
10. 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是
（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
第二部分（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上.
11. 若集合
，则
.
12. 曲线
在点（1，1）处的切线与x轴、直线
所围成的三角形的面积为 .
13. 已知均为锐角，且
.
14. 若
的最大值是 .
15. 若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为 .
16. 已知
是圆
为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为
.
三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分13分）
若函数
的最大值为
，试确定常数a的值.
18. （本小题满分13分）
加工某种零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分别为
、
、
，且各道工序互不影响.
（Ⅰ）求该种零件的合格率；
（Ⅱ）从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率.
19. （本小题满分13分）
设函数
R.
（1）若
处取得极值，求常数a的值；
（2）若
上为增函数，求a的取值范围.
20. （本小题满分13分）
如图，在四棱锥P�ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上
一点，PE⊥EC. 已知
求
（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；
（Ⅱ）二面角E�PC�D的大小.
21. （本小题满分12分）
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线
与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且
（其
中O为原点）. 求k的取值范围.
22. （本小题满分12分）
数列
记
（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；
（Ⅱ）求数列
的通项公式及数列
的前n项和
数学试题（文史类）答案
一、选择题：每小题5分，满分50分.
1.A 2.D 3.D 4.B 5.C 6.B 7.B 8.A 9.A 10.C
二、填空题：每小题4分，满分24分.
11. 
12. 
13. 1 14. 
15. 
16. 
三、解答题：满分76分.
17. （本小题13分）
解：
因为的最大值为
的最大值为1，则
所以
18. （本小题13分）
（Ⅰ）解：
；
（Ⅱ）解法一： 该种零件的合格品率为
，由独立重复试验的概率公式得：
恰好取到一件合格品的概率为
，
至少取到一件合格品的概率为
解法二：
恰好取到一件合格品的概率为，
至少取到一件合格品的概率为
19. （本小题13分）
解：（Ⅰ）
因取得极值， 所以
解得
经检验知当
为极值点.
（Ⅱ）令
当
和
上为增函数，故当
上为增函数.
当
上为增函数，从而
上也为增函数.
综上所述，当
上为增函数.
20. （本小题13分）
解法一：
（Ⅰ）因PD⊥底面，故PD⊥DE，又因EC⊥PE，且DE是PE在面ABCD内的射影，由三垂线定理的逆定理知EC⊥DE，因此DE是异面直线PD与EC的公垂线.
设DE=x，因△DAE∽△CED，故
（负根舍去）.
从而DE=1，即异面直线PD与EC的距离为1.
（Ⅱ）过E作EG⊥CD交CD于G，作GH⊥PC交PC于H，连接EH. 因PD⊥底面，
故PD⊥EG，从而EG⊥面PCD.
因GH⊥PC，且GH是EH在面PDC内的射影，由三垂线定理知EH⊥PC.
因此∠EHG为二面角的平面角.
在面PDC中，PD=
，CD=2，GC=
因△PDC∽△GHC，故
，
又
故在
即二面角E�PC�D的大小为
解法二：
（Ⅰ）以D为原点，
、
、
分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.
由已知可得D（0，0，0），P（0，0，
，
C（0，2，0）设
由
，
即
由
，
又PD⊥DE，故DE是异面直线PD与CE的公垂线，易得
，故异面直线PD、
CE的距离为1.
（Ⅱ）作DG⊥PC，可设G（0，y，z）.由
得
即
作EF⊥PC于F，设F（0，m，n），
则
由
，
又由F在PC上得
因
故平面E�PC�D的平面角
的大小为向量
的夹角.
故
即二面角E�PC�D的大小为
21. （本小题12分）
解：（Ⅰ）设双曲线方程为
由已知得
故双曲线C的方程为
（Ⅱ）将
由直线l与双曲线交于不同的两点得
即
① 设
，则
而
于是
②
由①、②得 
故k的取值范围为
22. （本小题12分）
解法一：
（I）
（II）因
，
故猜想
因
，（否则将
代入递推公式会导致矛盾）
故
的等比数列.
, 
解法二：
（Ⅰ）由
整理得
（Ⅱ）由
所以
解法三：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）
