2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学试题卷（文史类）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 满分150分. 考试时间120分钟。

第I部分（选择题 共60分）

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=

，则P+Q中元素的个数是 （ ）

A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

2. 对任意实数a，b，c，给出下列命题：

①“”是“”的充要条件； ②“是无理数”是“a是无理数”的充要条件③“a>b”是“a²>b²”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件。

其中真命题的个数是 （ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3. 已知向量a=（－2，2），b=（5，k）.若|a+b|不超过5，则k的取值范围是（ ）

A. [－4，6] B. [－6，4] C. [－6，2] D. [－2，6]

4. 函数的图象大致是 （ ）

5. 木星的体积约是地球体积的倍，则它的表面积约是地球表面积的（ ）

A. 60倍 B. 60倍 C. 120倍 D. 120倍

6. 双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为 （ ）

A. B. C. D.

7. 在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是 （ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

8. 已知a、b、c是直线，是平面，给出下列命题：

①若；

②若；

③若；

④若a与b异面，且相交；

⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直.

其中真命题的个数是 （ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

9. 把同一排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （ ）

A. 168 B. 96 C. 72 D. 144

10. 若 （ ）

A. B. C. D.

11. 在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是 （ ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

12. 某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：

①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；

②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；

③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；

④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；

关于上述样本的下列结论中，正确的是 （ ）

A. ②、③都不能为系统抽样 B. ②、④都不能为分层抽样

C. ①、④都可能为系统抽样 D. ①、③都可能为分层抽样

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在答题卡相应位置上.

13. 函数的定义域是 。

14. 的展开式中整理后的常数项等于 。

15. 函数的最小正周期与最大值的和为 。

16. 某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，最少要花费 元。

三. 解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分12分）

已知向量在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.

18. （本小题满分12分）

在△ABC中，已知，求△ABC的面积.

19. （本小题满分12分）

设数列的前n项和为S_n=2n²，为等比数列，且

（Ⅰ）求数列和的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前n项和T_n.

20. （本小题满分12分）

如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC₁F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC₁=3，BE=1.

（Ⅰ）求BF的长；

（Ⅱ）求点C到平面AEC₁F的距离.

21. （本小题满分12分）

某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p₁，寿命为2年以上的概率为p₂.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.

（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需更换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；

（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；

（Ⅲ）当p₁=0.8，p₂=0.3时，求在第二次灯泡更换工作中，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）。

22. （本小题满分14分）

设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点。

（Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；

（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由。

2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学试题（文史类）参考答案

一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.

1. B 2. B 3. C 4. D 5. C 6. A 7. B 8. A 9. D 10. C 11. D 12. D

二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.

13. 14. 38 15. 16. 500

三. 解答题

17. 本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力.

解法1：依定义

开口向上的抛物线，故要使在区间

（－1，1）上恒成立

.

解法2：依定义

的图象是开口向下的抛物线，

18. 本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.

解法1：设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，

.

故所求面积

解法2：同解法1可得

又由余弦定理可得，

而

故所求面积

解法3：同解法1可得c=8.

又由余弦定理可得

故所求面积

19. 本小题主要考查等差数列、等比数列基本知识和数列求和的基本方法以及运算能力.

解：（1）：当

故{a_n}的通项公式为的等差数列.

设{b_n}的公比为

故

（II）

两式相减得

20. 本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.

解法1：（Ⅰ）过E作EH//BC交CC₁于H，则CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD.

又∵AF∥EC₁，∴∠FAD=∠C₁EH.

∴Rt△ADF≌Rt△EHC₁. ∴DF=C₁H=2.

（Ⅱ）延长C₁E与CB交于G，连AG，

则平面AEC₁F与平面ABCD相交于AG.

过C作CM⊥AG，垂足为M，连C₁M，

由三垂线定理可知AG⊥C₁M.由于AG⊥面C₁MC，且

AG面AEC₁F，所以平面AEC₁F⊥面C₁MC.在Rt△C₁CM中，作CQ⊥MC₁，垂足为Q，则CQ的长即为C到平面AEC₁F的距离.

解法2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C₁（0，4，3）.设F（0，0，z）.

∵AEC₁F为平行四边形，

（II）设为平面AEC₁F的法向量，

的夹角为，则

∴C到平面AEC₁F的距离为

21. 本小题主要考查概率的基础知识和运算能力，以及运用概率的知识分析和解决实际问题能力。

解：（I）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为需要更换2只灯泡的概率为

（II）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p₁）²；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p₁(1-p₂)，故所求的概率为

（III）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为p⁵（其中p为（II）中所求，下同）换4只的概率为（1-p），故至少换4只灯泡的概率为

22. 本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.

（I）解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得

①

设①的两个不同的根，

②

是线段AB的中点，得

解得k=-1，代入②得，>12，即的取值范围是（12，+）.

于是，直线AB的方程为

解法2：设

依题意，

（II）解法1：

代入椭圆方程，整理得

③

③的两根，

于是由弦长公式可得

④

将直线AB的方程

⑤

同理可得

⑥

假设存在>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为

⑦

于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

故当时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，为半径的圆上.

（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：

A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角

⑧

由⑥式知，⑧式左边=

由④和⑦知，⑧式右边=

∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆

解法2：由（II）解法1及.

代入椭圆方程，整理得

③

将直线AB的方程代入椭圆方程，整理得

　　　⑤

解③和⑤式可得

不妨设

∴

计算可得，∴A在以CD为直径的圆上。

又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆。

（注：也可用勾股定理证明AC⊥AD）