2005年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

数学试题卷（理工农医类）

数学试题（理工农医类）分选择题和非选择题两部分。满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2. 答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5. 考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

第一部分（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 圆关于原点（0，0）对称的圆的方程为 （ ）

A. B.

C. D.

2. （ ）

A. B. － C. D. －

3. 若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取值范围是 （ ）

A. B. C. D. （－2，2）

4. 已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D为线段BC的中点，则向量与的夹角为 （ ）

A. B. C. D. －

5. 若x，y是正数，则的最小值是 （ ）

A. 3 B. C. 4 D.

6. 已知、均为锐角，若的 （ ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 对于不重合的两个平面与，给定下列条件：

①存在平面，使得、都垂直于；

②存在平面，使得、都平行于；

③内有不共线的三点到的距离相等；

④存在异面直线l、m，使得l//，l//，m//，m//，

其中，可以判定与平行的条件有 （ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

8. 若ⁿ展开式中含项的系数与含项的系数之比为－5，则n等于 （ ）

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

9. 若动点（）在曲线上变化，则的最大值为 （ ）

A. B.

C. D. 2

10. 如图，在体积为1的三棱锥A�BCD侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G， 使

AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1，记O为三平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱

锥O�BCD的体积等于 （ ）

A. B. C. D.

第二部分（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上.

11. 集合R| ，则= .

12. 曲线处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为= .

13. 已知、均为锐角，且= .

14. = .

15. 某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为 .

16. 连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号）.

①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形

④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形

三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分13分）

若函数的最大值为2，试确定常数a的值.

18. （本小题满分13分）

在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：

（Ⅰ）该顾客中奖的概率；

（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值（元）的概率分布列和期望.

19. （本小题满分13分）

已知，讨论函数的极值点的个数。

20. （本小题满分13分）

如图，在三棱柱ABC�A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，E为棱CC₁上异于C、C₁的一点，EA⊥EB₁，已知AB=，BB₁=2，BC=1，∠BCC₁=，求：

（Ⅰ）异面直线AB与EB₁的距离；

（Ⅱ）二面角A�EB₁�A₁的平面角的正切值.

21. （本小题满分12分）

已知椭圆C₁的方程为，双曲线C₂的左、右焦点分别为C₁的左、右顶点，而C₂的左、右顶点分别是C₁的左、右焦点.

（Ⅰ）求双曲线C₂的方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆C₁及双曲线C₂都恒有两个不同的交点，且l与C₂的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k的取值范围.

22. （本小题满分12分）

数列{a_n}满足.

（Ⅰ）用数学归纳法证明：；

（Ⅱ）已知不等式，其中无理数e=2.71828….

2005年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

数学试题卷（理工农医类）

一、选择题：每小题5分，满分50分.

1. A 2. A 3. D 4. C 5. C 6. B 7. B 8. B 9. A 10. C

二、填空题：每小题4分，满分24分.

11. 12. 13. 1 14. －3 15. 16. ②③⑤

三、解答题：满分76分。

17. （本小题13分）

18. （本小题13分）

解法一：

（Ⅰ），即该顾客中奖的概率为。

（Ⅱ）的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）。

	0	10	20	50	60
P

故有分布列：

　

从而期望

解法二：

（Ⅰ）

（Ⅱ）的分布列求法同解法一

由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值=2×8=16（元）。

19. （本小题13分）

（1）当

x		x1
	+	0	－	0	+
	↑	为极大值	↓	为极小值	↑

即此时有两个极值点。

（2）当有两个相同的实根

于是

无极值。

（3）

为增函数，此时无极值。 因此当无极值点。

20. （本小题13分）

解法一：

（Ⅰ）因AB⊥面BB₁C₁C，故AB⊥BE。 又EB₁⊥EA，且EA在面BCC₁B₁内的射影为EB。由三垂线定理的逆定理知EB₁⊥BE，因此BE是异面直线AB与EB₁的公垂线，

在平行四边形BCC₁B₁中，设EB=x，则EB₁=，

作BD⊥CC₁，交CC₁于D，则BD=BC·

在△BEB₁中，由面积关系得。

（负根舍去）

解之得CE=2，故此时E与C₁重合，由题意舍去。

因此x=1，即异面直线AB与EB₁的距离为1。

（Ⅱ）过E作EG//B₁A₁，则GE⊥面BCC₁B₁，故GE⊥EB₁且GE在圆A₁B₁E内，

又已知AE⊥EB₁

故∠AEG是二面角A�EB₁�A₁的平面角。

因EG//B₁A₁//BA，∠AEG=∠BAE，故

解法二：

（Ⅰ）而BB₁C₁C得AB⊥EB₁从而=0。

设O是BB₁的中点，连接EO及OC₁，则在Rt△BEB₁中，EO=BB₁=OB₁=1，

因为在△OB₁C₁中，B₁C₁=1，∠OB₁C₁=，故△OB₁C₁是正三角形，

所以OC₁=OB₁=1，

又因∠OC₁E=∠B₁C₁C－∠B₁C₁O=故△OC₁E是正三角形，

所以C₁E=1，故CE=1，易见△BCE是正三角形，从而BE=1，

即异面直线AB与EB₁的距离是1。

（Ⅱ）由（I）可得∠AEB是二面角A�EB₁�B的平面角，在Rt△ABE中，由AB=，

BE=1，得tanAEB=。

又由已知得平面A₁B₁E⊥平面BB₁C₁C，

故二面角A�EB₁�A₁的平面角，故

解法三：

（I）以B为原点，、分别为y、z轴建立空间直角坐标系。

由于BC=1，BB₁=2，AB=，∠BCC₁=，

在三棱柱ABC�A₁B₁C₁中有

B（0，0，0），A（0，0，），B₁（0，2，0），

设

又AB⊥面BCC₁B₁，故AB⊥BE。 因此BE是异面直线AB、EB₁的公垂线，

则，故异面直线AB、EB₁的距离为1。

（II）由已知有故二面角A�EB₁�A₁的平面角的大小为向量的夹角。

21. （本小题12分）