2005年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）

数学（理工农医类）

YCY本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

祝各位考生考试顺利！

第I卷（选择题 共60分）

注意事项：

1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．复数的共轭复数是 （ ）

A． B． C． D．

2．已知等差数列中，，则的值是 （ ）

A．15 B．30 C．31 D．64

3．在△ABC中，∠C=90°，则k的值是 （ ）

A．5 B．－5 C． D．

4．已知直线m、n与平面，给出下列三个命题：

①若

②若

③若

其中真命题的个数是 （ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

5．函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是 （ ）

A．

B．

C．

D．

6．函数的部分图象如图，则 （ ）

A． B．

C． D．

7．已知p：则p是q的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．如图，长方体ABCD�A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD₁、AB、CC₁的中点，则异面直线A₁E与GF所成的角是（ ）

A． B．

C． D．

9．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ）

A．300种 B．240种 C．144种 D．96种

10．已知F₁、F₂是双曲线的两焦点，以线段F₁F₂为边作正三角形MF₁F₂，若边MF₁的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ）

A． B． C． D．

11．设的最小值是 （ ）

A． B． C．－3 D．

12．是定义在R上的以3为周期的奇函数，且，则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。

13．展开式中的常数项是 （用数字作答）。

14．非负实数满足，则x+3y的最大值为 。

15．若常数b满足|b|>1，则 .

16．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：

若函数的图象与的图象关于 对称，则函数=

。

（注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）.

三. 解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知.

（I）求sinx－cosx的值；

（Ⅱ）求的值.

　

18．（本小题满分12分）

甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为，投中得1分，投不中得0分.

（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；

（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；

19．（本小题满分12分）

已知函数的图象在点M（－1，f(-1)）处的切线方程为x+2y+5=0.

（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；

（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间.

20．（本小题满分12分）

如图，直二面角D�AB�E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求二面角B�AC�E的大小；

（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.

21．（本小题满分12分）

已知方向向量为v=(1,)的直线l过点（0，－2）和椭圆C：的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足，

cot∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.

　

22．（本小题满分14分）

已知数列{a_n}满足a₁=a, a_n+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：

（Ⅰ）求当a为何值时a₄=0；

（Ⅱ）设数列{b_n}满足b₁=－1, b_n+1=，求证a取数列{b_n}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a_n}；

（Ⅲ）若，求a的取值范围.

【试题答案】

一. 选择题：本大题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.

1. B 2. A 3. A 4. C 5. D

6. C 7. A 8. D 9. B 10. D 11. C 12. D

二. 填空题：本大题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.

13. 240 14.9 15.

16. 如 ①x轴，－3－log₂x ②y轴，3+log₂(－x)

③原点，－3－log₂(-x) ④直线y=x, 2^x－3

三. 解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17． 本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.满分12分.

解法一：（Ⅰ）由

即

又

故

（Ⅱ）

解法二：（Ⅰ）联立方程

由①得将其代入②，整理得

故

（Ⅱ）

18． 本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理和运算能力. 满分12分.

解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则

甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0、1、2，则ξ概率分布为：

ξ	0	1	2
P

Eξ=0×+1×+2×=

答：每人在罚球线各投球一次，两人得分之和ξ的数学期望为.

（Ⅱ）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为

∴甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率

答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为

19． 本小题主要考查函数的单调性，导数的应用等知识，考查运用数学知识，分析问题和解决问题的能力.满分12分.

解：（1）由函数f(x)的图象在点M（－1,f(－1)）处的 切线方程为x+2y+5=0，知

20． 本小题主要考查直线、直线与平面、二面角及点到平面的距离等基础知识，考查空间想

象能力，逻辑思维能力与运算能力. 满分12分.

解法一：（Ⅰ）平面ACE.

∵二面角D�AB�E为直二面角，且， 平面ABE.

（Ⅱ）连结BD交AC于C，连结FG，

∵正方形ABCD边长为2，∴BG⊥AC，BG=，

平面ACE，

由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC.

是二面角B�AC�E的平面角.

由（Ⅰ）AE⊥平面BCE，又，

∴在等腰直角三角形AEB中，BE=.

又直角

，

∴二面角B�AC�E等于

（Ⅲ）过点E作交AB于点O. OE=1.

∵二面角D�AB�E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD.

设D到平面ACE的距离为h，

平面BCE，

∴点D到平面ACE的距离为

解法二：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直

线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行

于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系

O�xyz，如图.

面BCE，BE面BCE， ，

在的中点，

设平面AEC的一个法向量为，

则

解得

令得是平面AEC的一个法向量.

又平面BAC的一个法向量为，

∴二面角B�AC�E的大小为

（III）∵AD//z轴，AD=2，∴，

∴点D到平面ACE的距离

21．本小题主要考查直线、椭圆及平面向量的基本知识，平面解析几何的基本方法和综合解题能力.满分12分.

（I）解法一：直线， ①

过原点垂直的直线方程为， ②

解①②得

∵椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，

∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.

故椭圆C的方程为 ③

解法二：直线.

设原点关于直线的对称点为（p，q），则解得p=3.

∵椭圆中心O（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，

∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.

故椭圆C的方程为 ③

（II）解法一：设M（），N（）.

当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得

点O到直线MN的距离

即

即