2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数 学

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P（A＋B）＝P（A）＋P（B）

如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）＝P（A）·P（B）

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

球的表面积公式，其中R表示球的半径

球的体积公式，其中R表示球的半径

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数，在复平面内，z所对应的点在（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 极限存在是函数在点处连续的（ ）

A. 充分而不必要的条件 B. 必要而不充分的条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要的条件

3. 设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）

A. B. C. D.

4. 已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：

①若；

②若；

③若；

④若m、n是异面直线，

其中真命题是（ ）

A. ①和② B. ①和③ C. ③和④ D. ①和④

5. 函数的反函数是（ ）

A. B.

C. D.

6. 若，则的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

7. 在R上定义运算若不等式对任意实数成立，则（ ）

A. B. C. D.

8. 若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是（ ）

A. （1，2） B. （2，+∞） C. [3，+∞ D. （3，+∞）

9. 若直线按向量平移后与圆相切，则c的值为（ ）

A. 8或－2 B. 6或－4 C. 4或－6 D. 2或－8

10. 已知是定义在R上的单调函数，实数，，，，若，则（ ）

A. B. C. D.

11. 已知双曲线的中心在原点，离心率为。若它的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是（ ）

A. 2+ B. C. D. 21

12. 一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（ ）

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13. 的展开式中常数项是 。

14. 如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是 。

15. 用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有 个。（用数字作答）

16. 是正实数，设是奇函数}，若对每个实数，的元素不超过2个，且有使含2个元素，则的取值范围是 。

三. 解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分12分）

已知三棱锥P—ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB。

（Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；

（Ⅱ）求二面角P—AB—C的平面角的余弦值；

（Ⅲ）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长。

18. （本小题满分12分）

如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y＞x＞0。

（Ⅰ）将十字形的面积表示为的函数；

（Ⅱ）为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？

19. （本小题满分12分）

已知函数。设数列}满足，数列}满足。

（Ⅰ）用数学归纳法证明；

（Ⅱ）证明。

20. （本小题满分12分）

某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级。对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品。

（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P_甲、P_乙；

表一

工序 概 率 产品	第一工序	第二工序
甲	0.8	0.85
乙	0.75	0.8

（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（I）的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；

表二

等级 利 润 产品	一等	二等
甲	5（万元）	2.5（万元）
乙	2.5（万元）	1.5（万元）

（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示。该工厂有工人40名，可用资金60万元。设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II）的条件下，x、y为何值时，最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）

表三

项目 用 量 产品	工人（名）	资金（万元）
甲	8	5
乙	2	10

21. （本小题满分14分）

已知椭圆的左、右焦点分别是F₁（－c，0）、F₂（c，0），Q是椭圆外的动点，满足。点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点T在线段F₂Q上，并且满足。

（Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；

（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；

（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F₁MF₂的面积。若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，请说明理由。

22. （本小题满分12分）

函数在区间（0，+∞）内可导，导函数是减函数，且 设

是曲线在点（）处的切线方程，并设函数

（Ⅰ）用、、表示m；

（Ⅱ）证明：当；

（Ⅲ）若关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系。

　

【试题答案】

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。

1. B 2. B 3. D 4. D 5. C 6. C

7. C 8. B 9. A 10. A 11. B 12. A

二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。

13. 14. 15. 576 16.

三、解答题

17. 本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考

查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法，满分12分。

（Ⅰ）证明： 连结CF。

……4分

（Ⅱ）解法一：

为所求二面角的平面角

设AB＝a，则

……………………8分

解法二：设P在平面ABC内的射影为O

≌≌

得PA=PB=PC

于是O是△ABC的中心

为所求二面角的平面角

设AB=a，则

…………8分

（Ⅲ）解法一：设PA＝x，球半径为R

，

，，得

∴△ABC的边长为………12分

解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径

连结OA、AD，可知△PAD为直角三角形

设AB＝x，球半径为R

…………12分

18. 本小题主要考查根据图形建立函数关系、三角函数公式、用反三角函数表示角以及解和三角函数有关的极值问题等基础知识，考查综合运用三角函数知识的能力。满分12分。

（Ⅰ）解：设S为十字形的面积，则

………………4分

（Ⅱ）解法一：

其中………8分

当最大。……10分

所以，当最大

S的最大值为…………12分

解法二：因为

所以

……………………8分

令S”＝0，即

可解得 ………………10分

所以，当时，S最大，S的最大值为 …………12分

19. 本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力，满分12分。

（Ⅰ）证明：当

因为a₁=1，所以 ………………2分

下面用数学归纳法证明不等式

（1）当n=1时，b₁=，不等式成立。

（2）假设当n=k时，不等式成立，即

那么

………………6分

所以，当n=k+1时，不等式也成立。

根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。 …………8分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，

所以

…………10分